В равностороннем треугольнике с длиной стороны 48 см, если соединить середины сторон и продолжать этот процесс, то есть

Для начала, рассмотрим, как строится каждый новый треугольник. Когда мы соединяем середины сторон первоначального треугольника, мы получаем второй треугольник. Этот второй треугольник будет меньше первоначального и будет иметь стороны вдвое меньше сторон первоначального треугольника.

Поскольку у нас равносторонний треугольник со стороной равной 48 см, то второй треугольник будет иметь стороны длиной 24 см.

Затем, если мы соединим середины сторон второго треугольника, мы получим третий треугольник. Этот третий треугольник будет еще меньше и его стороны будут иметь длину вдвое меньше, чем у второго треугольника.

Таким образом, стороны третьего треугольника будут иметь длину 12 см.

Мы можем продолжать этот процесс бесконечно много раз, получая все новые и новые треугольники, каждый раз с длинами сторон, вдвое меньшими, чем у предыдущего треугольника.

Следовательно, сумма периметров всех треугольников может быть найдена с помощью геометрической прогрессии. Формула для суммы периметров геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

\[S = a \cdot \dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}\]

где:
\(S\) - сумма периметров,
\(a\) - первый член прогрессии (периметр первого треугольника),
\(q\) - знаменатель прогрессии (значение, на которое делятся длины сторон при каждом новом треугольнике),
\(n\) - количество треугольников.

В нашем случае:
\(a = 48\) см (периметр первого треугольника),
\(q = \dfrac{1}{2}\) (значение, на которое делятся длины сторон при каждом новом треугольнике),
\(n = \infty\) (бесконечное количество треугольников).

Подставим значения в формулу:

\[S = 48 \cdot \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\infty}}{1 - \dfrac{1}{2}}\]

Однако, к сожалению, при бесконечном количестве треугольников (\(n = \infty\)), знаменатель \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\infty}\) становится непонятным и неопределенным. Поэтому мы не можем точно определить сумму периметров всех треугольников в данной ситуации.

Тем не менее, мы можем заметить, что каждый новый треугольник будет иметь периметр, вдвое меньший, чем периметр предыдущего. Таким образом, сумма периметров будет стремиться к некоторому конечному числу, и это число можно приближенно найти, продолжив процесс рекурсивно.

Для иллюстрации, мы можем построить первые несколько треугольников и найти их периметры:

Первый треугольник: сторона = 48 см, периметр = 48 * 3 = 144 см

Второй треугольник: сторона = 24 см, периметр = 24 * 3 = 72 см

Третий треугольник: сторона = 12 см, периметр = 12 * 3 = 36 см

Четвертый треугольник: сторона = 6 см, периметр = 6 * 3 = 18 см

Пятый треугольник: сторона = 3 см, периметр = 3 * 3 = 9 см

И так далее...

Мы видим, что с каждым новым треугольником периметр уменьшается вдвое. Если мы продолжим этот процесс до бесконечности, то сумма периметров будет стремиться к конечному числу, близкому к 144 см.

Таким образом, мы можем предположить, что сумма периметров всех треугольников в данной задаче будет приближенно равна 144 см.