В полке стоит 4 книги по анализу, 5 книг по алгебре и 6 книг по теории вероятности. Студент взял 4 книги. Найти

Пусть событие A состоит в том, что все выбранные книги относятся к теории вероятности, а событие B - в том, что среди выбранных книг хотя бы одна относится к теории вероятности.

а) Для нахождения вероятности события A, нам необходимо вычислить отношение числа исходов, в которых все выбранные книги относятся к теории вероятности, к общему числу возможных исходов.

Исходы, в которых все выбранные книги относятся к теории вероятности, состоят из того, что студент выбирает 4 книги из 6 книг по теории вероятности.

Количество исходов, в которых это произойдет, может быть вычислено с использованием формулы числа сочетаний: \({C_n^k} = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\), где \(n = 6\) - количество книг по теории вероятности, а \(k = 4\) - количество выбираемых книг.

Таким образом, количество исходов для события A равно \({C_6^4} = \frac{{6!}}{{4! \cdot (6-4)!}} = \frac{{6!}}{{4! \cdot 2!}} = 15\).

Общее число возможных исходов определяется тем, что студент выбирает 4 книги из общего числа книг в полке: \({C_{15}^4} = \frac{{15!}}{{4! \cdot (15-4)!}} = \frac{{15!}}{{4! \cdot 11!}} = 1365\).

Таким образом, вероятность события A равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию A, к общему числу возможных исходов:
\[P(A) = \frac{{15}}{{1365}} \approx 0.0110\]

Итак, вероятность того, что все выбранные книги относятся к теории вероятности, составляет около 0.0110 или около 1.1%.

б) Для нахождения вероятности события B, нам необходимо вычислить отношение числа исходов, в которых выбрана хотя бы одна книга по теории вероятности, к общему числу возможных исходов.

Событие B является дополнением события, при котором не была выбрана ни одна книга по теории вероятности. Таким образом, можно выразить вероятность события B как \(1 - P(\text{не выбрано ни одной книги по теории вероятности})\).

Чтобы найти вероятность не выбора ни одной книги по теории вероятности, нам нужно учесть, что в полке есть другие книги (анализ и алгебра), и выбрать 4 книги только из этих двух категорий.

Исходы, в которых не выбрана ни одна книга по теории вероятности, состоят из того, что студент выбирает 4 книги из 9 книг, исключив 6 книг по теории вероятности.

Количество исходов, в которых это произойдет:
\({C_9^4} = \frac{{9!}}{{4! \cdot (9-4)!}} = \frac{{9!}}{{4! \cdot 5!}} = 126\).

Таким образом, вероятность события B равна:
\[P(B) = 1 - \frac{{126}}{{1365}} \approx 0.9079\]

Итак, вероятность хотя бы одной выбранной книги, относящейся к теории вероятности, составляет около 0.9079 или около 90.79%.