Как доказать, что ∠bmn = ∠nkc или ∠bmn + ∠nkc = 180◦ при проведенных вокруге трех хордах ab, bc, cd и отмеченных

Для доказательства того, что \(\angle bmn = \angle nkc\) или \(\angle bmn + \angle nkc = 180^\circ\) при проведенных вокруге трех хордах \(ab\), \(bc\), \(cd\) и отмеченных их серединах \(m\), \(n\), нам понадобится несколько свойств.

Обозначим точку пересечения хорд \(ab\) и \(cd\) как точку \(O\). Поскольку мы знаем, что \(m\) и \(n\) - середины хорд, то можем сказать, что \(mn\) - это серединный перпендикуляр к \(ab\) в точке \(M\), а \(mn"\) - это серединный перпендикуляр к \(cd\) в точке \(N\).

Теперь рассмотрим треугольники \(OMB\) и \(ONC\). У этих треугольников есть несколько свойств:

1. Стороны \(OB\) и \(OC\) равны, поскольку они являются радиусами окружности.
2. Углы \(\angle MOB\) и \(\angle NOC\) равны 90 градусам, поскольку \(mn\) и \(mn"\) являются перпендикулярами к хордам \(ab\) и \(cd\).
3. Углы \(\angle BOM\) и \(\angle CON\) равны, поскольку они соответственные углы треугольников, образованные параллельными линиями \(mn\) и \(mn"\).

Теперь рассмотрим треугольники \(MNB\) и \(MNC\). У этих треугольников также есть несколько свойств:

1. Стороны \(MB\) и \(MC\) равны, так как это радиусы окружности.
2. Сторона \(MN\) является общей для обоих треугольников.
3. Углы \(\angle BNM\) и \(\angle CNM\) равны 90 градусам, так как \(mn\) и \(mn"\) являются перпендикулярами к хордам \(ab\) и \(cd\).

Теперь мы можем использовать эти свойства для доказательства утверждения.

Возможны два случая:

1. Если \(\angle BOM\) и \(\angle CON\) равны, то по свойству 3 треугольников \(OMB\) и \(ONC\) получаем, что \(\angle MOB = \angle NOC\). Следовательно, по свойству 2 у треугольников \(MNB\) и \(MNC\), нам известно, что \(\angle BNM = \angle CNM\). Так как \(\angle BNM\) и \(\angle CNM\) равны, то \(\angle BMN = \angle CMN\). По свойству 3 у треугольников \(OMB\) и \(ONC\) получаем, что \(\angle MOB = \angle NOC\). Следовательно, сумма \(\angle BMN + \angle CMN\) равна сумме \(\angle MOB + \angle NOC\), то есть \(180^\circ\). Значит, мы доказали, что \(\angle bmn + \angle nkc = 180^\circ\).

2. Если \(\angle BOM\) и \(\angle CON\) не равны, то мы можем использовать свойство 3 у треугольников \(OMB\) и \(ONC\) и свойство 3 у треугольников \(MNB\) и \(MNC\) для доказательства равенства углов \(\angle BNM\) и \(\angle CNM\). Аналогично предыдущему случаю, мы можем заключить, что \(\angle BMN = \angle CMN\). Также, используя свойство 3 у треугольников \(OMB\) и \(ONC\), мы можем заключить, что \(\angle MOB = \angle NOC\). Из этого следует, что сумма \(\angle BMN + \angle CMN\) равна сумме \(\angle MOB + \angle NOC\), то есть \(180^\circ\). Значит, мы снова доказали, что \(\angle bmn + \angle nkc = 180^\circ\).

Таким образом, мы доказали, что \(\angle bmn = \angle nkc\) или \(\angle bmn + \angle nkc = 180^\circ\) при проведенных вокруге трех хордах \(ab\), \(bc\), \(cd\) и отмеченных их серединах \(m\), \(n\).