В квадрат со стороной 48 см вписывается еще один квадрат, вершины которого являются серединами сторон первого квадрата

Давайте решим поставленную задачу. Пусть \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), ... представляют квадраты, так что \(A_1\) - самый внешний квадрат, \(A_2\) - второй по порядку квадрат, и так далее.

Обозначим сторону первого квадрата как \(a_1\). Мы знаем, что \(a_1 = 48\) см.

Для второго квадрата (\(A_2\)):
- Середины сторон первого квадрата являются вершинами второго квадрата.
- Поскольку эти вершины являются серединами сторон, сторона второго квадрата будет равна половине стороны первого квадрата.
- Таким образом, \(a_2 = a_1 / 2\).

Аналогично, для третьего квадрата (\(A_3\)):
- Середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата.
- Сторона третьего квадрата будет равна половине стороны второго квадрата.
- Таким образом, \(a_3 = a_2 / 2 = a_1 / 2^2\).

Мы можем заметить, что для каждого последующего квадрата (\(A_n\)), сторона (\(a_n\)) будет выражаться через степень 2 сокращениями начального значения (\(a_1 = 48\) см). То есть, \(a_n = a_1 / 2^{n-1}\).

Теперь мы можем перейти к решению каждого из трех вопросов, поставленных в задаче.

1. Сумма площадей всех квадратов:
Для каждого квадрата, площадь выражается как квадрат его стороны. Таким образом, площадь \(A_n\) равна \(S_n = (a_n)^2\).

Мы знаем, что для каждого квадрата \(A_n\):
\(a_n = a_1 / 2^{n-1}\).

Подставляя это значение в формулу для площади, получаем:
\(S_n = (a_1 / 2^{n-1})^2\).

Чтобы найти сумму площадей всех квадратов, мы просуммируем площади всех квадратов от первого до бесконечности:
\(\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \sum_{n=1}^{\infty} (a_1 / 2^{n-1})^2\).

Для простоты, обозначим \(a_1 = 48\). Тогда окончательная формула для суммы площадей будет выглядеть так:
\(\sum_{n=1}^{\infty} (48 / 2^{n-1})^2\).

2. Дополнительная длина стороны третьего квадрата (\(A_3\)):
Мы уже установили ранее, что \(a_3 = a_1 / 2^2\).
Подставляя \(a_1 = 48\), мы получаем:
\(a_3 = 48 / 2^2\).

3. Площадь наибольшего квадрата (\(A_1\)):
Площадь \(A_1\) равна \(S_1 = (a_1)^2\).
Подставляя \(a_1 = 48\), мы получаем:
\(S_1 = (48)^2\).

Наконец, узнаем какой знаменатель присутствует в нашей формуле для суммы площадей всех квадратов:
\(\sum_{n=1}^{\infty} (48 / 2^{n-1})^2\).

Ответы на вопросы:
1. Сумма площадей всех квадратов равна выражению \(\sum_{n=1}^{\infty} (48 / 2^{n-1})^2\) в квадратных сантиметрах.
2. Дополнительная длина стороны третьего квадрата равна \(48 / 2^2\) сантиметров.
3. Площадь наибольшего квадрата равна \(48^2\) квадратным сантиметрам.
4. Знаменатель в формуле для суммы площадей всех квадратов равен \(2^{n-1}\).