В кубе ABCDA1B1C1D1, точки N и M отмечены на ребрах B1C1 и C1D1 соответственно, так что B1N:NC1=1:3 и C1M:MD1=1:4

Для начала, давайте обозначим длину ребра куба как \(a\). Также обратим внимание, что у каждого ребра в кубе есть две смежные грани, поэтому все ребра равны между собой.

Поскольку \(B_1N : NC_1 = 1 : 3\), мы можем разделить ребро \(B_1C_1\) на 4 равные части. Первая часть будет \(B_1N\), а третья - \(NC_1\). Это означает, что \(B_1M = 3B_1N\) и \(MC_1 = 4NC_1\).

Теперь мы можем определить координаты точек \(N\) и \(M\). Пусть \(B_1\) имеет координаты (0, 0, 0), а \(C_1\) имеет координаты (a, 0, 0). Тогда координаты точки \(N\) будут \((0, \frac{a}{4}, \frac{3a}{4})\), а координаты точки \(M\) будут \((a, \frac{a}{5}, 0)\).

Чтобы определить направляющие векторы прямых BN и CM, вычитаем соответствующие координаты. Направляющий вектор прямой BN будет \((0 - 0, \frac{a}{4} - 0, \frac{3a}{4} - 0)\), то есть \((0, \frac{a}{4}, \frac{3a}{4})\).

Направляющий вектор прямой CM будет \((a - a, \frac{a}{5} - \frac{a}{4}, 0 - 0)\), то есть \((0, -\frac{a}{20}, 0)\).

Теперь найдем скалярное произведение этих двух векторов. Скалярное произведение векторов равно произведению их соответствующих координат, сложенных вместе. В данном случае это будет \(0 \cdot 0 + \frac{a}{4} \cdot -\frac{a}{20} + \frac{3a}{4} \cdot 0\), что равно 0.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения косинуса угла между двумя прямыми, заданными их направляющими векторами:

\[
\cos(\alpha) = \frac{{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}}{{|\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}|}}
\]

где \(\mathbf{u} = (0, \frac{a}{4}, \frac{3a}{4})\) и \(\mathbf{v} = (0, -\frac{a}{20}, 0)\).

Подставляя значения в эту формулу, получаем:

\[
\cos(\alpha) = \frac{{0 \cdot 0 + \frac{a}{4} \cdot -\frac{a}{20} + \frac{3a}{4} \cdot 0}}{{|\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}|}}
\]

Сокращая данные выражения, получаем:

\[
\cos(\alpha) = \frac{{-\frac{a^2}{80}}}{{\frac{a}{4} \cdot \frac{a}{20}}}
\]

Дальше производим умножение в знаменателе:

\[
\cos(\alpha) = \frac{{-\frac{a^2}{80}}}{{\frac{a^2}{80}}}
\]

И, наконец, сокращаем две пары \(a^2\):

\[
\cos(\alpha) = -1
\]

Таким образом, косинус угла между прямыми \(BN\) и \(CM\) равен -1.