В классе учится 30 студентов: 14 из них девочки, а 16 - мальчики. Решено провести жеребьевку для раздачи 4 билетов

Давайте решим задачу по жеребьевке для раздачи билетов в театр среди 30 студентов. В классе у нас 14 девочек и 16 мальчиков, и нам нужно найти вероятность различных событий.

а) Все 4 билета достанутся мальчикам. Для того чтобы найти вероятность этого события, мы должны разделить число способов, которыми все 4 билета могут достаться мальчикам, на общее число возможных исходов.

У нас есть 16 мальчиков, и мы должны выбрать 4 из них для раздачи билетов. Используем формулу сочетаний:

\[
C(16, 4) = \frac{16!}{4!(16-4)!}
\]

где \(C(n, k)\) обозначает число сочетаний из \(n\) по \(k\), и \(n!\) обозначает факториал числа \(n\).

Применяя формулу, мы получаем:

\[
C(16, 4) = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16!}{4!12!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1820
\]

Таким образом, число способов, которыми все 4 билета могут достаться мальчикам, равно 1820.

Общее число возможных исходов равно числу способов выбрать 4 человека из 30. Используем ту же формулу сочетаний:

\[
C(30, 4) = \frac{30!}{4!(30-4)!} = \frac{30!}{4!26!} = 27,405
\]

Таким образом, общее число возможных исходов равно 27,405.

Теперь мы можем найти вероятность события а), разделив число способов, которыми все 4 билета могут достаться мальчикам, на общее число возможных исходов:

\[
P(\text{все 4 билета достанутся мальчикам}) = \frac{\text{число способов, которыми все 4 билета могут достаться мальчикам}}{\text{общее число возможных исходов}} = \frac{1820}{27,405} \approx 0.0665
\]

Итак, вероятность того, что все 4 билета достанутся мальчикам, составляет около 0.0665 или примерно 6.65%.

б) Теперь рассмотрим вероятность того, что 3 билета достанутся мальчикам, а 1 - девочке.

Чтобы найти вероятность этого события, мы должны разделить число способов, которыми 3 билета могут достаться мальчикам и 1 - девочке, на общее число возможных исходов.

У нас есть 16 мальчиков, из которых мы должны выбрать 3 для раздачи билетов, а также 14 девочек, из которых мы должны выбрать 1. Используем формулу сочетаний:

\[
C(16, 3) \times C(14, 1) = \frac{16!}{3!(16-3)!} \times \frac{14!}{1!(14-1)!} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} \times 14 = 5,600
\]

Таким образом, число способов, которыми 3 билета могут достаться мальчикам, а 1 - девочке, равно 5,600.

Теперь мы можем рассчитать вероятность события б), разделив это число на общее число возможных исходов:

\[
P(\text{3 билета достанутся мальчикам, а 1 - девочке}) = \frac{\text{число способов, которыми 3 билета могут достаться мальчикам, а 1 - девочке}}{\text{общее число возможных исходов}} = \frac{5,600}{27,405} \approx 0.2044
\]

Итак, вероятность того, что 3 билета достанутся мальчикам, а 1 - девочке, составляет около 0.2044 или примерно 20.44%.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять вероятности этих событий в задаче по жеребьевке.