Какова вероятность того, что спортсмены будут выступать в порядке возрастания или убывания роста?

Для решения данной задачи, давайте посмотрим, какие предположения и условия имеются.

Предположим, у нас есть \(n\) спортсменов, и каждый из них имеет уникальный рост. Наша задача - определить вероятность того, что они будут выступать в порядке возрастания или убывания роста.

Давайте начнем с рассмотрения случая, когда спортсмены выступают в порядке возрастания роста.

Шаг 1: Определение количества возможных комбинаций роста
Количество возможных комбинаций роста можно рассчитать с использованием формулы для числа размещений. Поскольку нам неважно, в каком именно порядке спортсмены выступают, мы будем использовать сочетания без повторений. Таким образом, количество возможных комбинаций роста для порядка возрастания будет равно \(C(n, n) = \frac{{n!}}{{n!(n-n)!}} = \frac{{n!}}{{0!}} = n!\), где \(n!\) обозначает факториал числа \(n\).

Шаг 2: Определение количества комбинаций роста в порядке возрастания
Теперь нам нужно определить, сколько из всех возможных комбинаций роста будут в порядке возрастания. Поскольку спортсмены не могут иметь одинаковый рост, это означает, что у нас есть только одна комбинация, которая будет в порядке возрастания.

Шаг 3: Расчет вероятности порядка возрастания
Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что спортсмены выступят именно в порядке возрастания роста. Вероятность будет равна отношению количества комбинаций роста в порядке возрастания к общему количеству возможных комбинаций роста: \(P(\text{{Порядок возрастания}}) = \frac{{\text{{Количество комбинаций в порядке возрастания}}}}{{\text{{Общее количество комбинаций}}}} = \frac{1}{{n!}}\).

Теперь рассмотрим случай, когда спортсмены выступают в порядке убывания роста. Ответ будет аналогичным, просто нужно заменить порядок возрастания на порядок убывания.

Таким образом, вероятность того, что спортсмены будут выступать в порядке возрастания или убывания роста будет равна сумме вероятностей порядков возрастания и убывания: \(P(\text{{Порядок возрастания или убывания}}) = P(\text{{Порядок возрастания}}) + P(\text{{Порядок убывания}}) = \frac{1}{{n!}} + \frac{1}{{n!}} = \frac{2}{{n!}}\).

Таким образом, вероятность того, что спортсмены будут выступать в порядке возрастания или убывания роста, равна \(\frac{2}{{n!}}\).