Каково количество слов длины n, состоящих из заданного алфавита {a1, a2 ,…, aq }, где ni - количество вхождений буквы

Итак, у нас задано алфавитом {a1, a2, a3}, где a1 встречается n1 раз, a2 встречается n2 раз, а a3 встречается n3 раз. Нам нужно найти количество слов длины n, которые могут быть образованы из данного алфавита с заданными значениями n1, n2 и n3.

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику и принципы перестановок и комбинаций.

Первым шагом необходимо определить, сколько максимальных вхождений каждой буквы ai может быть в слове длины n. Это значение будет равно \(\min(n, ni)\) для каждого i.

Затем нам нужно рассмотреть все комбинации максимальных вхождений букв ai. Мы можем использовать множественные индексы \(k_1, k_2, ..., k_q\) для представления комбинаций, где \(0 \leq k_i \leq \min(n, n_i)\) представляет количество вхождений буквы ai в слове.

Для каждого набора индексов \(k_1, k_2, ..., k_q\) мы можем применить формулу перестановки, чтобы определить количество слов, которые могут быть образованы с данным набором индексов. Формула перестановки для набора \(k_1, k_2, ..., k_q\) будет выглядеть следующим образом:

\[
\frac{{n!}}{{k_1! \cdot k_2! \cdot ... \cdot k_q!}}
\]

Наконец, нам необходимо просуммировать все полученные значения, чтобы получить общее количество слов длины n, которые можно образовать из данного алфавита с заданными значениями n1, n2 и n3.

В нашем случае, у нас задано q = 3, n = 8, n1 = 2, n2 = 3 и n3 = 3. Максимальные значения вхождений каждой буквы будут равны 2, 3 и 3 соответственно.

Теперь давайте рассмотрим все возможные комбинации максимальных вхождений букв ai:

1) k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0. В этом случае все буквы ai отсутствуют в слове.

\[
\frac{{8!}}{{0! \cdot 0! \cdot 0!}} = 1
\]

2) k1 = 1, k2 = 0, k3 = 0. В этом случае только буква a1 присутствует в слове.

\[
\frac{{8!}}{{1! \cdot 0! \cdot 0!}} = 8
\]

3) k1 = 0, k2 = 1, k3 = 0. В этом случае только буква a2 присутствует в слове.

\[
\frac{{8!}}{{0! \cdot 1! \cdot 0!}} = 8
\]

4) k1 = 0, k2 = 0, k3 = 1. В этом случае только буква a3 присутствует в слове.

\[
\frac{{8!}}{{0! \cdot 0! \cdot 1!}} = 8
\]

5) k1 = 1, k2 = 1, k3 = 0. В этом случае буквы a1 и a2 присутствуют в слове.

\[
\frac{{8!}}{{1! \cdot 1! \cdot 0!}} = 48
\]

6) k1 = 1, k2 = 0, k3 = 1. В этом случае буквы a1 и a3 присутствуют в слове.

\[
\frac{{8!}}{{1! \cdot 0! \cdot 1!}} = 48
\]

7) k1 = 0, k2 = 1, k3 = 1. В этом случае буквы a2 и a3 присутствуют в слове.

\[
\frac{{8!}}{{0! \cdot 1! \cdot 1!}} = 48
\]

8) k1 = 1, k2 = 1, k3 = 1. В этом случае все буквы ai присутствуют в слове.

\[
\frac{{8!}}{{1! \cdot 1! \cdot 1!}} = 336
\]

Теперь просуммируем все полученные значения:

1 + 8 + 8 + 8 + 48 + 48 + 48 + 336 = 505

Таким образом, количество слов длины 8, состоящих из алфавита {a1, a2, a3}, где n1 = 2, n2 = 3 и n3 = 3, равно 505.