Каково количество слов длины n, состоящих из заданного алфавита {a1, a2 ,…, aq }, где ni - количество вхождений буквы

Итак, у нас задано алфавитом {a1, a2, a3}, где a1 встречается n1 раз, a2 встречается n2 раз, а a3 встречается n3 раз. Нам нужно найти количество слов длины n, которые могут быть образованы из данного алфавита с заданными значениями n1, n2 и n3.

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику и принципы перестановок и комбинаций.

Первым шагом необходимо определить, сколько максимальных вхождений каждой буквы ai может быть в слове длины n. Это значение будет равно $min(n,ni)$ для каждого i.

Затем нам нужно рассмотреть все комбинации максимальных вхождений букв ai. Мы можем использовать множественные индексы $k_1,k_2,...,k_q$ для представления комбинаций, где $0\le k_i\le min(n,n_i)$ представляет количество вхождений буквы ai в слове.

Для каждого набора индексов $k_1,k_2,...,k_q$ мы можем применить формулу перестановки, чтобы определить количество слов, которые могут быть образованы с данным набором индексов. Формула перестановки для набора $k_1,k_2,...,k_q$ будет выглядеть следующим образом:

$$\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot ...\cdot k_q!}$$

Наконец, нам необходимо просуммировать все полученные значения, чтобы получить общее количество слов длины n, которые можно образовать из данного алфавита с заданными значениями n1, n2 и n3.

В нашем случае, у нас задано q = 3, n = 8, n1 = 2, n2 = 3 и n3 = 3. Максимальные значения вхождений каждой буквы будут равны 2, 3 и 3 соответственно.

Теперь давайте рассмотрим все возможные комбинации максимальных вхождений букв ai:

1) k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0. В этом случае все буквы ai отсутствуют в слове.

$$\frac{8!}{0!\cdot 0!\cdot 0!}=1$$

2) k1 = 1, k2 = 0, k3 = 0. В этом случае только буква a1 присутствует в слове.

$$\frac{8!}{1!\cdot 0!\cdot 0!}=8$$

3) k1 = 0, k2 = 1, k3 = 0. В этом случае только буква a2 присутствует в слове.

$$\frac{8!}{0!\cdot 1!\cdot 0!}=8$$

4) k1 = 0, k2 = 0, k3 = 1. В этом случае только буква a3 присутствует в слове.

$$\frac{8!}{0!\cdot 0!\cdot 1!}=8$$

5) k1 = 1, k2 = 1, k3 = 0. В этом случае буквы a1 и a2 присутствуют в слове.

$$\frac{8!}{1!\cdot 1!\cdot 0!}=48$$

6) k1 = 1, k2 = 0, k3 = 1. В этом случае буквы a1 и a3 присутствуют в слове.

$$\frac{8!}{1!\cdot 0!\cdot 1!}=48$$

7) k1 = 0, k2 = 1, k3 = 1. В этом случае буквы a2 и a3 присутствуют в слове.

$$\frac{8!}{0!\cdot 1!\cdot 1!}=48$$

8) k1 = 1, k2 = 1, k3 = 1. В этом случае все буквы ai присутствуют в слове.

$$\frac{8!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}=336$$

Теперь просуммируем все полученные значения:

1 + 8 + 8 + 8 + 48 + 48 + 48 + 336 = 505

Таким образом, количество слов длины 8, состоящих из алфавита {a1, a2, a3}, где n1 = 2, n2 = 3 и n3 = 3, равно 505.