В каком соотношении прямая, проходящая через середину одной из сторон параллелограмма и делящая его площадь в отношении

Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллелограмма, что прямая, проходящая через середину одной из его сторон, параллельна противолежащей стороне и делит параллелограмм на две фигуры равной площади.

Пусть параллелограмм ABCD имеет стороны AB и CD, а прямая, проходящая через середину стороны AB, пересекает сторону CD в точке E.

По условию задачи, прямая делит параллелограмм ABCD на две фигуры с площадью в отношении 1:9. Пусть S - общая площадь параллелограмма ABCD, тогда площадь одной из фигур будет $\frac{1}{10}S$, а площадь другой - $\frac{9}{10}S$.

Так как площадь параллелограмма равна произведению длины его одной стороны на высоту, можно сделать следующие выводы:

$\frac{1}{10}S=\frac{1}{2}\cdot EB\cdot h_1$, где $EB$ - длина отрезка, на которую прямая делит сторону CD, а $h_1$ - высота параллелограмма, проведенная к основанию AB.

$\frac{9}{10}S=\frac{1}{2}\cdot ED\cdot h_2$, где $ED$ - длина отрезка, на которую прямая делит сторону CD, а $h_2$ - высота параллелограмма, проведенная к основанию CD.

Для нахождения соотношения между отрезками EB и ED, найдем отношение высот параллелограмма $h_1$ и $h_2$. В параллелограмме высоты, опущенные из противоположных вершин, равны между собой. Таким образом, $h_1=h_2$.

Подставляя найденное равенство в уравнения для площадей фигур, получим:

$\frac{1}{10}S=\frac{1}{2}\cdot EB\cdot h$,

$\frac{9}{10}S=\frac{1}{2}\cdot ED\cdot h$.

Разделим эти уравнения, чтобы избавиться от высоты h:

$\frac{\frac{1}{10}S}{\frac{9}{10}S}=\frac{\frac{1}{2}\cdot EB\cdot h}{\frac{1}{2}\cdot ED\cdot h}$,

$\frac{1}{9}=\frac{EB}{ED}$.

Таким образом, прямая, проходящая через середину одной из сторон параллелограмма и делящая его площадь в отношении 1:9, делит другую сторону параллелограмма в соотношении 1:9. Отношение длин отрезков EB и ED равно 1:9.