В каком соотношении M делит отрезок AF? Какое число следует умножить на векторы, чтобы получить верные равенства?

Для решения данной задачи нам понадобятся основы векторной алгебры и отношения между векторами.

Дано, что точка M делит отрезок AF. Предположим, что отношение деления равно \( \lambda : 1 \), то есть отношение \( AM:MF \) равно \( \lambda : 1 \).

Определим координаты точек A, F и M. Пусть координаты точки A равны \( (x_A, y_A) \), координаты точки F равны \( (x_F, y_F) \), а координаты точки M равны \( (x_M, y_M) \).

Поскольку точка M делит отрезок AF, мы можем записать следующие соотношения между векторами:
\[ \overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{MF} \]
\[ \begin{cases} x_M - x_A = \lambda (x_F - x_M) \\ y_M - y_A = \lambda (y_F - y_M) \end{cases} \]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[ \begin{cases} x_M - x_A = \lambda x_F - \lambda x_M \\ y_M - y_A = \lambda y_F - \lambda y_M \end{cases} \]

Перенесем все слагаемые с x-координатами в одну часть уравнения, а слагаемые с y-координатами в другую:
\[ \begin{cases} x_A + \lambda x_M = (1 + \lambda) x_F \\ y_A + \lambda y_M = (1 + \lambda) y_F \end{cases} \]

Теперь мы можем выразить x_M и y_M:
\[ x_M = \frac{x_A + \lambda x_F}{1 + \lambda} \]
\[ y_M = \frac{y_A + \lambda y_F}{1 + \lambda} \]

Чтобы определить значение \(\lambda\) нужно учесть условие задачи. Если отрезок АМ делится на \(k\) равных частей, то \(\lambda = \frac{1}{k}\), иначе говоря, отношение деления равно \(\lambda : 1 = \frac{1}{k} : 1\).

Для решения второго вопроса, касающегося умножения векторов, нам нужно иметь векторы и оператор умножения.

Если векторы A и B записаны в виде \((x_A, y_A)\) и \((x_B, y_B)\) соответственно, и число, на которое нужно умножить векторы, обозначено как \(\alpha\), то верные равенства выглядят следующим образом:
\[ \alpha(A+B) = \alpha A + \alpha B \]
\[ \alpha(A-B) = \alpha A - \alpha B \]

Таким образом, чтобы получить верные равенства, нужно умножить каждый вектор на число \(\alpha\). Если вектор обозначен как \((x, y)\), то после умножения получим вектор \((\alpha x, \alpha y)\).

Надеюсь, эта подробная информация поможет вам решить задачу и понять, как умножать векторы. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.