В каком диапазоне находится корень уравнения log4 (4 – х ) + log4x?

Корень уравнения \(\log_4 (4 - x) + \log_4 x\) можно определить, найдя значения переменной \(x\), при которых выражение равно нулю или не существует. Поскольку мы рассматриваем логарифмы по основанию 4, отрицательные числа и нули не подходят для этого выражения. Поэтому начнём с предположения, что \(x\) положительное число больше нуля.

Для начала, воспользуемся свойством логарифма, которое гласит, что \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\). Применим это свойство к нашему уравнению:

\(\log_4 (4 - x) + \log_4 x = \log_4 ((4 - x) \cdot x)\).

Теперь преобразуем выражение \((4 - x) \cdot x\):

\((4 - x) \cdot x = 4x - x^2\).

Таким образом, наше уравнение может быть записано как:

\(\log_4 ((4 - x) \cdot x) = \log_4 (4x - x^2)\).

Мы хотим найти значения \(x\), для которых \(\log_4 (4x - x^2) = 0\).

Теперь обратимся к определению логарифма. Логарифм равен нулю, когда аргумент под логарифмом равен 1. Поэтому наше уравнение будет равно нулю, если

\(4x - x^2 = 1\).

Теперь перенесём все члены уравнения в одну сторону:

\(x^2 - 4x + 1 = 0\).

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя квадратную формулу:

\(x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}\).

В данном случае, коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) равны 1, -4 и 1 соответственно. Подставим значения в формулу:

\(x = \frac{{-(-4) \pm \sqrt{{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}}}{2 \cdot 1}\).

Упростим выражение:

\(x = \frac{{4 \pm \sqrt{{16 - 4}}}}{2}\).

\(x = \frac{{4 \pm \sqrt{12}}}{2}\).

\(x = \frac{{4 \pm 2\sqrt{3}}}{2}\).

\(x = 2 \pm \sqrt{3}\).

Таким образом, корни уравнения \(\log_4 (4 - x) + \log_4 x\) находятся в диапазоне \(2 - \sqrt{3} < x < 2 + \sqrt{3}\).