В каких координатах находится точка, получаемая в результате поворота точки р (1; 0) на угол (k — целое число)?

Чтобы определить координаты точки, получаемой в результате поворота точки \(P(1, 0)\) на угол \((k -\) целое число\), воспользуемся формулами для поворота точки на плоскости.

Формулы поворота точки \(P(x, y)\) на плоскости вокруг начала координат на угол \(\theta\) применяются следующим образом:

\[x" = x\cos(\theta) - y\sin(\theta)\]
\[y" = x\sin(\theta) + y\cos(\theta)\]

где \(x"\) и \(y"\) — координаты новой точки после поворота.

В данной задаче, точка \(P(1, 0)\) уже задана, а необходимо найти новые координаты точки после поворота на угол \((k -\) целое число\).

Подставим значения в формулы поворота:

\[x" = 1\cos(\theta) - 0\sin(\theta) = \cos(\theta)\]
\[y" = 1\sin(\theta) + 0\cos(\theta) = \sin(\theta)\]

Таким образом, новые координаты точки будут \((\cos(\theta), \sin(\theta))\).

Теперь рассмотрим предложенные варианты:

1) \(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k\)

Здесь угол \(\theta = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\) — целое число.

Подставим это значение в формулы:

\[x" = \cos\left(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) = \cos\frac{\pi}{2} = 0\]
\[y" = \sin\left(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1\]

Таким образом, координаты точки при данном угле \(\theta\) равны \((0, 1)\).

2) \(\frac{5\pi}{2} + 2\pi k\)

Здесь угол \(\theta = \frac{5\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\) — целое число.

Подставим это значение в формулы:

\[x" = \cos\left(\frac{5\pi}{2} + 2\pi k\right) = \cos\frac{\pi}{2} = 0\]
\[y" = \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 2\pi k\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1\]

Значение координат точки также равно \((0, 1)\) при данном угле \(\theta\).

3) \(\frac{7\pi}{2} + 2\pi k\)

Здесь угол \(\theta = \frac{7\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\) — целое число.

Подставим это значение в формулы:

\[x" = \cos\left(\frac{7\pi}{2} + 2\pi k\right) = \cos\frac{\pi}{2} = 0\]
\[y" = \sin\left(\frac{7\pi}{2} + 2\pi k\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1\]

Координаты точки также равны \((0, 1)\) при данном угле \(\theta\).

4) \(-\frac{9\pi}{2} + 2\pi k\)

Здесь угол \(\theta = -\frac{9\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\) — целое число.

Подставим это значение в формулы:

\[x" = \cos\left(-\frac{9\pi}{2} + 2\pi k\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) = \cos\frac{\pi}{2} = 0\]
\[y" = \sin\left(-\frac{9\pi}{2} + 2\pi k\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1\]

Координаты точки равны \((0, 1)\) при данном угле \(\theta\).

Итак, во всех предложенных вариантах координаты новой точки, получаемой в результате поворота точки \(P(1, 0)\), будут равны \((0, 1)\). Ответы 1), 2), 3) и 4) являются правильными.