1. Каковы площадь осевого сечения, площадь основания, площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности и объем

1. Для начала, найдем площадь основания цилиндра. Площадь основания цилиндра равна площади круга с радиусом \(r\), формула площади круга: \(S = \pi r^2\), где \(\pi\) - математическая постоянная, примерно равная 3.14. Подставим значение радиуса \(r = 2\sqrt{3}\) в формулу площади основания:

\[S_{\text{основания}} = \pi(2\sqrt{3})^2\]

Выполним вычисления:

\[S_{\text{основания}} = \pi(2\sqrt{3})^2 = \pi(2^2)(\sqrt{3})^2 = 4\pi \cdot 3 = 12\pi\, \text{см}^2\]

Теперь найдем площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению окружности со значением радиуса и высоты цилиндра: \(S_{\text{бок}} = 2\pi r h\), где \(h\) - высота цилиндра. Подставим значения в формулу площади боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}} = 2\pi \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3 = 12\pi\sqrt{3}\, \text{см}^2\]

Теперь найдем площадь полной поверхности цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \(S_{\text{полн}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{бок}}\). Подставим значения:

\[S_{\text{полн}} = 12\pi + 12\pi\sqrt{3} = 12\pi(1 + \sqrt{3})\, \text{см}^2\]

И, наконец, найдем объем цилиндра. Объем цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту: \(V = S_{\text{основания}} \cdot h\). Подставим значения:

\[V = 12\pi \cdot 3 = 36\pi\, \text{см}^3\]

Таким образом, площадь осевого сечения равна \(12\pi\, \text{см}^2\), площадь основания равна \(12\pi\, \text{см}^2\), площадь боковой поверхности равна \(12\pi\sqrt{3}\, \text{см}^2\), площадь полной поверхности равна \(12\pi(1 + \sqrt{3})\, \text{см}^2\), а объем цилиндра равен \(36\pi\, \text{см}^3\).

2. Найдем площадь основания конуса. Площадь основания конуса равна площади круга с радиусом \(r\) по формуле \(S = \pi r^2\). Подставим значение радиуса \(r = \sqrt{2}\) в формулу площади основания:

\[S_{\text{основания}} = \pi(\sqrt{2})^2 = 2\pi\, \text{см}^2\]

Теперь найдем площадь боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения окружности со значением радиуса и длины образующей конуса: \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi r l\), где \(l\) - длина образующей конуса. Подставим значения:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot \sqrt{2} \cdot 2 = 2\pi\sqrt{2}\, \text{см}^2\]

Теперь найдем площадь полной поверхности конуса. Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \(S_{\text{полн}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{бок}}\). Подставим значения:

\[S_{\text{полн}} = 2\pi + 2\pi\sqrt{2} = 2\pi(1 + \sqrt{2})\, \text{см}^2\]

И, наконец, найдем объем конуса. Объем конуса равен одной трети площади основания, умноженной на высоту: \(V = \frac{1}{3} S_{\text{основания}} \cdot h\). Подставим значения:

\[V = \frac{1}{3} \cdot 2\pi \cdot 3 = 2\pi\, \text{см}^3\]

Таким образом, площадь осевого сечения равна \(2\pi\, \text{см}^2\), площадь основания равна \(2\pi\, \text{см}^2\), площадь боковой поверхности равна \(2\pi\sqrt{2}\, \text{см}^2\), площадь полной поверхности равна \(2\pi(1 + \sqrt{2})\, \text{см}^2\), а объем конуса равен \(2\pi\, \text{см}^3\).

3. Для начала, найдем площадь поверхности сферы. Площадь поверхности сферы равна удвоенному произведению числа \(\pi\) и квадрата радиуса сферы: \(S = 4\pi r^2\). Подставим значение радиуса \(r = 2\sqrt{3}\) в формулу площади поверхности:

\[S_{\text{поверхности}} = 4\pi \cdot (2\sqrt{3})^2 = 4\pi \cdot 12 = 48\pi\, \text{см}^2\]

Теперь найдем объем сферы. Объем сферы равен четырем третям произведения числа \(\pi\) и куба радиуса сферы: \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\). Подставим значение радиуса \(r = 2\sqrt{3}\) в формулу объема:

\[V = \frac{4}{3} \pi (2\sqrt{3})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} = 32\pi \sqrt{3}\, \text{см}^3\]

Таким образом, площадь поверхности сферы равна \(48\pi\, \text{см}^2\), а объем сферы равен \(32\pi \sqrt{3}\, \text{см}^3\).

4. При заданной длине диагонали квадрата осевого сечения цилиндра, чтобы найти радиус основания, нам нужно использовать соотношение между сторонами квадрата и его диагональю.

По определению, диагональ квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника, образуемого двумя сторонами квадрата, равными его стороне. Поэтому, сторона квадрата равна половине длины его диагонали.

Пусть сторона квадрата равна \(a\) см. Тогда, длина диагонали квадрата, которая равна 36 см, выражается как:

\(\text{диагональ} = a\sqrt{2} = 36\)

Чтобы найти значение стороны квадрата, разделим обе стороны уравнения на \(\sqrt{2}\):

\[a = \frac{36}{\sqrt{2}}\]

\[a = 18\sqrt{2}\]

Таким образом, сторона квадрата, и следовательно, радиус основания цилиндра, равны \(18\sqrt{2}\) см.