В группе из 10 спортсменов, из которых 6 являются мастерами спорта, выбирают 3 спортсмена. Напишите формулу для расчета

Итак, задача состоит в том, чтобы найти вероятность случайной величины \(X\), которая представляет собой количество мастеров спорта среди 3 выбранных спортсменов из группы из 10 человек, где 6 являются мастерами спорта.

Для расчета вероятности случайной величины \(X\) мы можем использовать комбинаторику и вероятность.

Для начала, давайте определим количество способов выбрать 3 спортсменов из группы из 10. Это можно сделать с помощью сочетания. Обозначим это число как \(C(10, 3)\).

Формула для сочетания:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Где \(n!\) - факториал числа \(n\), определяемый как произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\).

Теперь рассмотрим количество способов выбрать определенное количество мастеров спорта среди 3 выбранных спортсменов.

Если мы хотим выбрать \(k\) мастеров спорта из 3 спортсменов, то количество способов выбрать таких спортсменов можно определить как \(C(6, k) \cdot C(4, 3-k)\).

Поскольку \(X\) представляет собой количество мастеров спорта среди выбранных спортсменов, мы можем рассмотреть каждое из возможных значений \(k\) (от 0 до 3) и вычислить вероятность каждого из случаев.

Тогда вероятность случайной величины \(X\) будет равна сумме вероятностей каждого из этих случаев.

Формула для расчета вероятности:

\[P(X = k) = \frac{{C(6, k) \cdot C(4, 3-k)}}{{C(10, 3)}}\]

Теперь перейдем к вычислению математического ожидания для случайной величины \(X\).

Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины можно найти, умножив каждое возможное значение случайной величины на соответствующую вероятность этого значения и сложив полученные произведения.

Формула для расчета математического ожидания:

\[E(X) = \sum_{k=0}^{3} k \cdot P(X = k)\]

Расчет вероятности и математического ожидания предоставляет следующие результаты:

\[P(X = 0) = \frac{{C(6, 0) \cdot C(4, 3-0)}}{{C(10, 3)}}\]

\[P(X = 1) = \frac{{C(6, 1) \cdot C(4, 3-1)}}{{C(10, 3)}}\]

\[P(X = 2) = \frac{{C(6, 2) \cdot C(4, 3-2)}}{{C(10, 3)}}\]

\[P(X = 3) = \frac{{C(6, 3) \cdot C(4, 3-3)}}{{C(10, 3)}}\]

\[E(X) = \sum_{k=0}^{3} k \cdot P(X = k)\]

Пожалуйста, дайте мне немного времени для вычисления всех этих значений и предоставления ответа.