В группе 20 студентов есть 2 отличника, 10 хорошистов, 6 троечников и 2 двоечника. Отличники знают 100% экзаменационных

Для решения этой задачи нам понадобится использовать условную вероятность. Первым делом, нам нужно найти вероятность того, что случайно выбранный студент сдаст экзамен без каких-либо ограничений.

Всего в группе 20 студентов. Из них:
- Отличников - 2
- Хорошистов - 10
- Троечников - 6
- Двоечников - 2

Теперь давайте найдем вероятность сдачи экзамена для каждой категории студентов.

Вероятность того, что случайно выбранный студент из группы будет отличником, равна количеству отличников к общему количеству студентов:
\[P(\text{{отличник}}) = \frac{{\text{{количество отличников}}}}{{\text{{общее количество студентов}}}} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}\]

Аналогично для хорошистов, троечников и двоечников:
\[P(\text{{хорошист}}) = \frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}\]
\[P(\text{{троечник}}) = \frac{{6}}{{20}} = \frac{3}{10}\]
\[P(\text{{двоечник}}) = \frac{{2}}{{20}} = \frac{1}{10}\]

Теперь нам нужно найти вероятность того, что случайно выбранный студент сдаст экзамен. Мы можем вычислить это, учитывая вероятности для каждой категории студентов.

Для этого мы используем формулу полной вероятности:
\[P(\text{{сдача экзамена}}) = P(\text{{сдача экзамена}}|\text{{отличник}}) \cdot P(\text{{отличник}}) + P(\text{{сдача экзамена}}|\text{{хорошист}}) \cdot P(\text{{хорошист}}) + P(\text{{сдача экзамена}}|\text{{троечник}}) \cdot P(\text{{троечник}}) + P(\text{{сдача экзамена}}|\text{{двоечник}}) \cdot P(\text{{двоечник}})\]

Условные вероятности сдачи экзамена для каждой категории студентов известны:
- Отличники знают 100% экзаменационных билетов, поэтому вероятность сдачи экзамена для отличников равна 1.
- Хорошисты знают только 80% экзаменационных билетов, поэтому вероятность сдачи экзамена для хорошистов равна 0.8.
- Троечники знают только 60% экзаменационных билетов, поэтому вероятность сдачи экзамена для троечников равна 0.6.
- Двоечники знают только 40% экзаменационных билетов, поэтому вероятность сдачи экзамена для двоечников равна 0.4.

Теперь давайте вычислим вероятность сдачи экзамена:
\[P(\text{{сдача экзамена}}) = 1 \cdot \frac{1}{10} + 0.8 \cdot \frac{1}{2} + 0.6 \cdot \frac{3}{10} + 0.4 \cdot \frac{1}{10}\]

Выполнив вычисления, мы получим:
\[P(\text{{сдача экзамена}}) = \frac{1}{10} + \frac{4}{10} + \frac{18}{100} + \frac{4}{100} = \frac{45}{100} = 0.45\]

Теперь, учитывая, что уже известно, что один из студентов сдал экзамен, нам нужно найти вероятность, что он был двоечником.

Для этого мы использовать формулу условной вероятности:
\[P(\text{{двоечник}}|\text{{сдача экзамена}}) = \frac{{P(\text{{двоечник}} \cap \text{{сдача экзамена}})}}{{P(\text{{сдача экзамена}})}}\]

Мы уже знаем вероятность сдачи экзамена (\(P(\text{{сдача экзамена}}) = 0.45\)), поэтому мы должны найти вероятность пересечения двоечника и сдачи экзамена (\(P(\text{{двоечник}} \cap \text{{сдача экзамена}})\)).

Вероятность пересечения двоечника и сдачи экзамена равна произведению вероятности сдачи экзамена для двоечника (\(0.4\)) и вероятности быть двоечником (\(\frac{1}{10}\)). Поэтому:
\[P(\text{{двоечник}} \cap \text{{сдача экзамена}}) = 0.4 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4}{100} = 0.04\]

Теперь мы можем рассчитать вероятность, что студент, сдавший экзамен, является двоечником:
\[P(\text{{двоечник}}|\text{{сдача экзамена}}) = \frac{{0.04}}{{0.45}} \approx 0.0889\]

Итак, вероятность того, что случайно выбранный студент из группы сдаст экзамен, составляет 0.45. А если известно, что один из студентов этой группы сдал экзамен, вероятность того, что он был одним из двоечников, составляет примерно 0.0889.