В Горах проживает 10 гномов. Каждые 100 дней четверо из них назначаются на дежурство. Будьте любезны

Для решения данной задачи можно использовать метод математической индукции. Давайте разобьем условие задачи на несколько шагов и докажем его истинность для каждого из них.

Шаг 1: Дни 1-99
На первом шаге ни один гном не был назначен на дежурство, поэтому утверждение о том, что какие-то двое гномов всегда были на дежурстве, не выполняется.

Шаг 2: Дни 100-199
В течение этого периода выбираются первые четверо гномов для дежурства. Мы можем выбрать любые два из них и сказать, что они были на дежурстве в течение всего периода 100-199 дней. Например, выберем первых двух гномов из этой группы. В первый день первый гном был на дежурстве, а во второй день – второй гном. Далее это будет повторяться каждые 100 дней. Таким образом, утверждение выполняется для этого шага.

Шаг 3: Дни 200-299
В этом шаге снова выбираются первые четверо гномов для дежурства. Мы можем выбрать любые два гномов из этой группы, которые не были на дежурстве в предыдущем периоде (дни 100-199), и сказать, что они были на дежурстве в течение всего периода 200-299 дней. Таким образом, утверждение выполняется и для этого шага.

И так далее...

Мы видим, что на каждом шаге мы можем выбрать двоих гномов, которые будут на дежурстве в течение всего данного периода. Изначально мы можем выбрать гномов 1 и 2, затем – 3 и 4, и так далее. Всего у нас 10 гномов, поэтому, когда мы дойдем до дней 900-999, все гномы уже будут участвовать в этом цикле и выбираться на дежурство.

Таким образом, мы доказали, что какие-то двое гномов всегда будут на дежурстве в течение не менее 900 дней.