В единичном кубе ABCDА1B1C1D1, какой угол образуют прямые А1С?

Чтобы решить данную задачу, нам нужно разобраться с геометрической ситуацией, описанной в ней. Дано, что у нас есть единичный куб ABCDА1B1C1D1, и мы хотим найти угол между прямыми А1С. Для начала, давайте разберемся с тем, как эти две прямые проходят через куб.

Вспомним, что вершины куба обозначены буквами A, B, C, D, A1, B1, C1 и D1. Прямая А1С является диагональю грани A1B1C1, проходящей через вершины A1 и C1. Для нахождения этой диагонали, мы можем использовать теорему Пифагора.

По теореме Пифагора, длина диагонали квадрата (или куба) равна квадратному корню из суммы квадратов длин его сторон. В нашем случае, каждая сторона куба имеет единичную длину, поэтому длина диагонали грани A1B1C1 равна \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).

Теперь, чтобы найти угол между прямыми А1С, мы можем использовать формулу для вычисления угла между двумя векторами. Для этого нам потребуется знать координаты каждой точки векторов.

Представим вектор А1С в виде разности координат точек A1 и C1:

\(\overrightarrow{A1C} = \begin{pmatrix} x_{A1} - x_{C1} \\ y_{A1} - y_{C1} \\ z_{A1} - z_{C1} \end{pmatrix}\)

Запишем координаты точек A1 и C1:

A1: (1, 1, 0)

C1: (1, 0, 1)

Подставим значения в формулу для вектора A1C:

\(\overrightarrow{A1C} = \begin{pmatrix} 1 - 1 \\ 1 - 0 \\ 0 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Теперь, найдем длины векторов A1C и диагонали грани A1B1C1:

\(|\overrightarrow{A1C}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\)

\(|A1B1C1| = \sqrt{2}\)

Наконец, воспользуемся формулой для вычисления угла между векторами:

\(\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{A1C} \cdot \overrightarrow{A1B1C1}}{|\overrightarrow{A1C}| \cdot |A1B1C1|}\)

где \(\overrightarrow{A1B1C1}\) - вектор диагонали грани A1B1C1, координаты которого можно получить, вычтя из координат B1 координаты A1:

\(\overrightarrow{A1B1C1} = \begin{pmatrix} x_{B1} - x_{A1} \\ y_{B1} - y_{A1} \\ z_{B1} - z_{A1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 1 \\ 1 - 1 \\ 1 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Подставляем значения и вычисляем угол:

\(\cos(\theta) = \frac{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{0 + 0 - 1}{2} = -\frac{1}{2}\)

Теперь нужно найти значение угла \(\theta\) между прямыми А1С. Для этого применим обратный косинус:

\(\theta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\)

Наконец, остается вычислить значение угла. Используем калькулятор или таблицу тригонометрических значений и получаем:

\(\theta \approx 120^\circ\)

Итак, угол между прямыми А1С в единичном кубе ABCDА1B1C1D1 составляет примерно 120 градусов.