В единичном кубе ABCDА1B1C1D1, какой угол образуют прямые А1С?

Чтобы решить данную задачу, нам нужно разобраться с геометрической ситуацией, описанной в ней. Дано, что у нас есть единичный куб ABCDА1B1C1D1, и мы хотим найти угол между прямыми А1С. Для начала, давайте разберемся с тем, как эти две прямые проходят через куб.

Вспомним, что вершины куба обозначены буквами A, B, C, D, A1, B1, C1 и D1. Прямая А1С является диагональю грани A1B1C1, проходящей через вершины A1 и C1. Для нахождения этой диагонали, мы можем использовать теорему Пифагора.

По теореме Пифагора, длина диагонали квадрата (или куба) равна квадратному корню из суммы квадратов длин его сторон. В нашем случае, каждая сторона куба имеет единичную длину, поэтому длина диагонали грани A1B1C1 равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.

Теперь, чтобы найти угол между прямыми А1С, мы можем использовать формулу для вычисления угла между двумя векторами. Для этого нам потребуется знать координаты каждой точки векторов.

Представим вектор А1С в виде разности координат точек A1 и C1:

$\overrightarrow{A1C}=\left(\begin{array}{c}{x}_{A1}-x_{C1}\\ y_{A1}-y_{C1}\\ z_{A1}-z_{C1}\end{array}\right)$

Запишем координаты точек A1 и C1:

A1: (1, 1, 0)

C1: (1, 0, 1)

Подставим значения в формулу для вектора A1C:

$\overrightarrow{A1C}=\left(\begin{array}{c}1-1\\ 1-0\\ 0-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

Теперь, найдем длины векторов A1C и диагонали грани A1B1C1:

$|\overrightarrow{A1C}|=\sqrt{0^2+1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$

$|A1B1C1|=\sqrt{2}$

Наконец, воспользуемся формулой для вычисления угла между векторами:

$\cos (\theta )=\frac{\overrightarrow{A1C}\cdot \overrightarrow{A1B1C1}}{|\overrightarrow{A1C}|\cdot |A1B1C1|}$

где $\overrightarrow{A1B1C1}$ - вектор диагонали грани A1B1C1, координаты которого можно получить, вычтя из координат B1 координаты A1:

$\overrightarrow{A1B1C1}=\left(\begin{array}{c}{x}_{B1}-x_{A1}\\ y_{B1}-y_{A1}\\ z_{B1}-z_{A1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-1\\ 1-1\\ 1-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Подставляем значения и вычисляем угол:

$\cos (\theta )=\frac{\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{0+0-1}{2}=-\frac{1}{2}$

Теперь нужно найти значение угла $\theta$ между прямыми А1С. Для этого применим обратный косинус:

$\theta =\arccos (-\frac{1}{2})$

Наконец, остается вычислить значение угла. Используем калькулятор или таблицу тригонометрических значений и получаем:

$\theta \approx {120}^{\circ }$

Итак, угол между прямыми А1С в единичном кубе ABCDА1B1C1D1 составляет примерно 120 градусов.