Уявіть, що точка рухається по прямій. Функція прискорення цієї точки задана як a(t) = 12t^2 + 4. Вам потрібно знайти

Для розв"язання даної задачі нам потрібно знайти миттєву швидкість \(v(t)\), коли час \(t\) дорівнює 1 секунді, і в цей момент швидкість дорівнює 10 м/с.

Миттєва швидкість може бути знайдена, взявши похідну від функції швидкості \(v(t)\), яка є інтегралом функції прискорення \(a(t)\).
Формула похідної має наступний вигляд:
\[v(t) = \int a(t) dt\]

Отже, нам потрібно обчислити наступний інтеграл:
\[v(t) = \int (12t^2 + 4) dt\]

Щоб знайти інтеграл, ми застосуємо правило лінійного інтегрування:
\[\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx\]

Застосовуючи це правило до нашого інтегралу, отримаємо:
\[v(t) = \int 12t^2 dt + \int 4 dt\]

Для розрахунку інтегралів ми використаємо правило степеневого інтегрування та правило інтегрування константи:
\[\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{та} \quad \int dx = x + C\]

Застосовуючи ці правила, ми отримаємо:
\[v(t) = \frac{{12t^3}}{3} + 4t + C\]

Тепер нам потрібно знайти константу \(C\). Ми можемо знайти її, використовуючи відому умову, що швидкість дорівнює 10 м/с при \(t = 1\) с. Підставляючи ці значення в формулу, ми отримаємо:
\[10 = \frac{{12 \cdot 1^3}}{3} + 4 \cdot 1 + C\]

Спрощуючи праву частину, отримаємо:
\[10 = 4 + 4 + C\]
\[C = 10 - 8\]
\[C = 2\]

Підставляючи значення для \(C\) назад у формулу, ми отримаємо:
\[v(t) = \frac{{12t^3}}{3} + 4t + 2\]

Таким чином, миттєва швидкість \(v(t)\) при \(t = 1\) секунда і швидкість рівна 10 м/с буде дорівнювати 10 м/с.