Упростите выражение дробь, числитель — квадрат c, знаменатель — квадрат c минус 4 минус дробь, числитель

Давайте решим данную задачу методом пошагового решения. У нас дано выражение:
\[
\dfrac{{c^2}}{{c^2 - 4}} - \dfrac{{c}}{{c-2}}
\]

Шаг 1: Найдем наименьший общий знаменатель для двух дробей. Заметим, что знаменатели имеют различные множители: \(c^2 - 4\) (который является разностью квадрата \(c\) и 4) и \(c - 2\). Наименьший общий знаменатель будет равен \((c^2 - 4)(c - 2)\).

Шаг 2: Приведем дроби к общему знаменателю. Для первой дроби раскроем квадрат \(c^2 - 4\), используя формулу разности квадратов: \(c^2 - 4 = (c+2)(c-2)\).

\[
\Rightarrow \dfrac{{c^2}}{{c^2 - 4}} = \dfrac{{c^2}}{{(c+2)(c-2)}}
\]

Для второй дроби никаких изменений не требуется.

\[
\dfrac{{c}}{{c-2}} = \dfrac{{c}}{{c-2}}
\]

Шаг 3: Объединим дроби в одну:

\[
\dfrac{{c^2}}{{(c+2)(c-2)}} - \dfrac{{c}}{{c-2}} = \dfrac{{c^2 - c(c+2)}}{{(c+2)(c-2)}}
\]

Шаг 4: Выполним упрощение дроби. Для этого раскроем скобки в числителе:
\(c^2 - c(c+2) = c^2 - c^2 - 2c = -2c\).

Получаем:

\[
\dfrac{{-2c}}{{(c+2)(c-2)}}
\]

Шаг 5: Подставим \(c = \dfrac{1}{2}\) в наше выражение:

\[
\dfrac{{-2 \cdot \dfrac{1}{2}}}{{(\dfrac{1}{2}+2)(\dfrac{1}{2}-2)}}
\]

Вычислим значения в скобках:

\[
(\dfrac{1}{2}+2)(\dfrac{1}{2}-2) = (\dfrac{5}{2})(-\dfrac{3}{2}) = -\dfrac{15}{4}
\]

Теперь заменим эту дробь обратно в наше выражение:

\[
\dfrac{{-2 \cdot \dfrac{1}{2}}}{{-\dfrac{15}{4}}} = \dfrac{{-2}}{{1}} \cdot \dfrac{{4}}{{-15}} = \dfrac{{-8}}{{-15}} = \dfrac{{8}}{{15}}
\]

Получаем, что значение данного выражения при \(c = \dfrac{1}{2}\) равно \(\dfrac{{8}}{{15}}\). Ответ: \(\dfrac{{8}}{{15}}\).