Упорядочить числа по возрастанию: котангенс пи/3; котангенс 7пи/8; котангенс 5пи/7

Для упорядочивания данных чисел по возрастанию, нам нужно вычислить значения котангенсов для каждого из них. Давайте пошагово решим эту задачу.

1. Начнем с первого числа: котангенс пи/3.
- Котангенс является обратным тангенсом. Тангенс пи/3 можно найти, используя формулу тангенса:
\(\tan(\theta) = \frac{{\sin(\theta)}}{{\cos(\theta)}}\)
- Для пи/3, мы имеем \(\sin(\pi/3) = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\) и \(\cos(\pi/3) = \frac{1}{2}\).
- Теперь мы можем вычислить тангенс:
\(\tan(\pi/3) = \frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = \sqrt{3}\)
- Так как котангенс является обратным тангенсом, котангенс пи/3 равен обратному значению тангенса:
\(\cot(\pi/3) = \frac{1}{{\tan(\pi/3)}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

2. Перейдем ко второму числу: котангенс 7пи/8.
- В новом случае, мы должны найти значения синуса и косинуса для 7пи/8.
- По аналогии с предыдущим случаем, можно вычислить \(\sin(7\pi/8)\) и \(\cos(7\pi/8)\).
- Несколько упрощений позволяют нам получить следующие значения:
\(\sin(7\pi/8) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\) and \(\cos(7\pi/8) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)
- Поскольку котангенс - это обратный тангенс, котангенс 7пи/8 равен обратному значению тангенса:
\(\cot(7\pi/8) = \frac{1}{{\tan(7\pi/8)}} = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)} = \frac{2}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\)

3. Наконец, третье число: котангенс 5пи/7.
- Для вычисления этого значения нам понадобятся значения синуса и косинуса для 5пи/7.
- Путем проведения подобный вычислений, мы получаем:
\(\sin(5\pi/7) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\) and \(\cos(5\pi/7) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)
- Используя обратный тангенс, мы находим:
\(\cot(5\pi/7) = \frac{1}{{\tan(5\pi/7)}} = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right)} = \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)

Теперь, когда у нас есть значения котангенсов для всех трех чисел, мы можем упорядочить их по возрастанию. Определите наименьшее значение и продолжайте сравнивать, чтобы упорядочить все числа.

Сравнивая значения, которые мы получили, мы находим:
\(\frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{2}{\sqrt{2-\sqrt{2}}} < \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)

Это будет окончательным упорядоченным списком чисел по возрастанию. Мы использовали пошаговый подход для вычисления значений котангенсов для каждого числа и затем обосновали порядок упорядочения.