Укажите значения синуса и косинуса угла альфа для координат точек на единичной окружности: а) (1/2; корень из 3/2

Для решения данной задачи, необходимо использовать тригонометрические соотношения, связанные с единичной окружностью. Давайте рассмотрим каждую точку по очереди.

а) (1/2; корень из 3/2)

По определению, синус угла \(\alpha\) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, а косинус угла \(\alpha\) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Зная координаты точки \((1/2; корень из 3/2)\), можно найти противолежащий и прилежащий катеты, а также гипотенузу с помощью теоремы Пифагора.

Противолежащий катет равен y-координате точки, то есть \(\sqrt{3}/2\).
Прилежащий катет равен x-координате точки, то есть \(1/2\).
Гипотенуза равна радиусу единичной окружности, что равно 1.

Теперь, применяя тригонометрические соотношения:

Синус угла \(\alpha\) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
\(\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Косинус угла \(\alpha\) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
\(\cos(\alpha) = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\)

Таким образом, значения синуса и косинуса угла \(\alpha\) для точки с координатами \((1/2; корень из 3/2)\) на единичной окружности равны соответственно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\frac{1}{2}\).

б) (корень из 3/2; -1/2)

Аналогичным образом проводим вычисления:

Противолежащий катет равен y-координате точки, то есть \(-1/2\).
Прилежащий катет равен x-координате точки, то есть \(\sqrt{3}/2\).
Гипотенуза равна радиусу единичной окружности, что равно 1.

Синус угла \(\alpha\) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
\(\sin(\alpha) = \frac{-1/2}{1} = -\frac{1}{2}\)

Косинус угла \(\alpha\) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
\(\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Таким образом, значения синуса и косинуса угла \(\alpha\) для точки с координатами \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)\) на единичной окружности равны соответственно \(-\frac{1}{2}\) и \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).