Укажите правильные свойства, если: Укажите верные свойства, если: √(a^2) = |a|, a∈R (квадратный корень из a^2 равен

Итак, давайте рассмотрим каждое из этих свойств по очереди и обоснуем или объясним их.

1. Свойство: \(\sqrt{a^2} = |a|\), \(a \in \mathbb{R}\)
Обоснование:
Исходное уравнение имеет вид \(\sqrt{a^2}\). Из определения квадратного корня следует, что он всегда возвращает неотрицательное значение. Таким образом, \(\sqrt{a^2}\) будет неотрицательным числом. С другой стороны, модуль \(|a|\) всегда также возвращает неотрицательное значение.
Итак, мы можем заключить, что \(\sqrt{a^2} = |a|\), где \(a \in \mathbb{R}\) (действительные числа).

2. Свойство: \(\sqrt{a \cdot b^2} = a \cdot |b|\), \(a \in \mathbb{R}\), \(b \in \mathbb{R}\)
Обоснование:
Рассмотрим уравнение \(\sqrt{a \cdot b^2}\). Из определения квадратного корня мы знаем, что он возвращает неотрицательное значение. Таким образом, \(\sqrt{a \cdot b^2}\) будет неотрицательным числом.
По свойствам алгебры мы знаем, что \(|b|\) также является неотрицательным числом. Поэтому \(a \cdot |b|\) также будет неотрицательным числом.
Таким образом, мы можем заключить, что \(\sqrt{a \cdot b^2} = a \cdot |b|\), где \(a \in \mathbb{R}\) и \(b \in \mathbb{R}\) (действительные числа).

3. Свойство: \(\sqrt{a \cdot a} = a\), \(a \geq 0\)
Обоснование:
Рассмотрим уравнение \(\sqrt{a \cdot a}\). Это выражение можно упростить до \(\sqrt{a^2}\), что равно \(|a|\) согласно первому свойству, обоснованному выше.
Однако, условие в данной задаче гласит, что \(a \geq 0\). В таком случае, \(|a| = a\) для любого неотрицательного числа \(a\).
Таким образом, мы можем заключить, что \(\sqrt{a \cdot a} = a\), где \(a \geq 0\).

Итак, мы обосновали и объяснили каждое из этих свойств. Эти свойства используются при работе с корнями и модулями в математике и имеют свою логическую основу.