Докажите, что для всех натуральных значений n значение 3 умножить на 8 возведенное в степень 2n+1 плюс 62 умножить

Хорошо, давайте докажем это выражение. Вам нужно доказать, что для всех натуральных значений \(n\) выражение \(3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21n\) делится на \(21\).

Для начала заметим, что \(8^{2n+1}\) является степенью числа \(8\). Это значит, что оно всегда будет кратно \(2\), так как \(8\) является четным числом. Таким образом, выражение \(3 \cdot 8^{2n+1}\) будет кратно \(2\).

Теперь рассмотрим второе слагаемое, \(62 \cdot 21n\). Заметим, что \(21n\) делится на \(21\) для всех натуральных значений \(n\). Также заметим, что \(62\) делится на \(21\), так как \(62 = 21 \cdot 2 + 20\), и \(20\) делится на \(21\) с остатком \(20\). То есть, \(62\) даёт остаток \(20\) при делении на \(21\). Поэтому \(62 \cdot 21n\) будет кратно \(21\).

Теперь, чтобы доказать, что \(3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21n\) кратно \(21\), нужно доказать, что сумма двух кратных чисел также будет кратна \(21\).

Мы уже знаем, что первое слагаемое, \(3 \cdot 8^{2n+1}\), кратно \(2\), а второе слагаемое, \(62 \cdot 21n\), кратно \(21\). Так как \(2\) и \(21\) являются взаимно простыми числами (не имеют общих делителей, кроме \(1\)), то их произведение также будет кратно \(2 \cdot 21 = 42\).

Таким образом, мы доказали, что для всех натуральных значений \(n\) выражение \(3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21n\) кратно \(21\).