Угол при основании равнобедренной трапеции составляет 60 градусов. Диагональ делит среднюю линию на два отрезка

Пусть \( AB \) и \( CD \) - основания равнобедренной трапеции \( ABCD \), где \( AB \parallel CD \).
Из условия задачи известно, что угол при основании равнобедренной трапеции \( ABCD \) равен 60 градусов. Так как треугольник \( ABC \) равнобедренный, имеем \( \angle ABC = \angle BAC = 60^\circ \).
Пусть \( M \) - середина боковой стороны \( AD \).

Так как \( AM \) - медиана треугольника \( ABC \), то она делит отрезок \( BC \) на две равные части. Поэтому точка пересечения диагонали и средней линии является серединой средней линии \( MN \). Пусть \( N \) - точка пересечения диагонали и средней линии \( MN \).
Также из условия задачи известно, что разность отрезков \( MN \) и \( BN \) равна 5 см.

Обозначим \( BN = x \) см, тогда \( MN = x + 5 \) см.
По теореме Пифагора в треугольнике \( MBC \) получаем:
\[ MC^2 = MB^2 + BC^2 \]
\[ MC^2 = \left(\frac{BC}{2}\right)^2 + BC^2 \]
\[ MC^2 = \frac{BC^2}{4} + BC^2 \]
\[ MC^2 = \frac{5BC^2}{4} \]

Также заметим, что треугольник \( BMC \) является прямоугольным с углом \( \angle BMC = 90^\circ \).
Используя формулу Синусов для треугольника \( BMC \), получаем:
\[ \frac{MC}{\sin 60^\circ} = \frac{BC}{\sin 90^\circ} \]
\[ MC = \frac{BC}{2} \]

Сравнивая два полученных выражения для \( MC \), получаем:
\[ \frac{5BC^2}{4} = \left(\frac{BC}{2}\right)^2 \]
\[ 5BC^2 = 4 \cdot \frac{BC^2}{4} \]
\[ BC^2 = \frac{4}{5} \cdot \frac{BC^2}{4} \]
\[ BC^2 = \frac{1}{5} \cdot BC^2 \]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то получаем, что \( BC^2 = 0 \). Это означает, что треугольник вырождается в отрезок, а трапеция становится прямоугольником. Так как такая трапеция не существует, задача не имеет решения.

Ответ: Длина средней линии трапеции не может быть определена, так как треугольник вырождается в отрезок.