У який момент часу нормальне прискорення точки буде рівним тангенціальному, якщо точка рухається по колу радіусом

Щоб вирішити цю задачу, ми спочатку знайдемо прискорення точки, використовуючи вираз для швидкості та рівняння визначення шляху точки \(s=7t^3\). Похідна від шляху точки за часом дає нам швидкість:

\[v = \frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d(7t^3)}}{{dt}} = 21t^2\]

Далі, ми знаємо, що шлях точки задається по колу радіусом 3 метри. Для руху по колу використовуємо формулу кутової швидкості:

\[v_{\text{кут}} = \frac{{v}}{{r}}\]

де \(v_{\text{кут}}\) - кутова швидкість, \(v\) - швидкість, а \(r\) - радіус кола. Підставляємо у вираз:

\[v_{\text{кут}} = \frac{{21t^2}}{{3}} = 7t^2\]

Тепер, враховуючи, що відразу після того, як прискорення є при цьому значенні, точка рухається по користувачуючи руху по колу, прискорення є тангенціальним. Тангенціальне прискорення \(a_{\text{танг}}\) можна знайти як похідну від \(v\):

\[a_{\text{танг}} = \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{d(21t^2)}}{{dt}} = 42t\]

Тепер ми можемо відповісти на запитання задачі: нормальне прискорення дорівнює тангенціальному прискоренню при значенні \(t\), коли \(a_{\text{танг}}\) дорівнює \(a_{\text{норм}}\). Оскільки \(a_{\text{танг}} = 42t\), а положення \(a_{\text{норм}}\) ще невідоме, ми не можемо відразу відповісти на це запитання.

Однак, можемо обчислити величину кутової швидкості \(v_{\text{кут}}\) при значенні \(t\), яке дає задане значення прискорення:

\[7t^2 = 42t\]

Перепишемо це рівняння у канонічній формі:

\[7t^2 - 42t = 0\]

Виділимо спільний множник \(7t\):

\[7t(t - 6) = 0\]

Отримали два розв"язки: \(t = 0\) і \(t = 6\). Ми знаємо, що час \(t\) не може бути від"ємним, тому вибираємо \(t = 6\) як вірне значення.

Отже, нормальне прискорення точки дорівнює тангенціальному прискоренню, коли \(t = 6\) секунд. Величина кутової швидкості \(v_{\text{кут}}\) у цей момент часу розраховується так:

\[v_{\text{кут}} = 7t^2 = 7 \cdot 6^2 = 252 \, \text{рад/с}\]

Кутове прискорення \(a_{\text{танг}}\) у цей момент часу:

\[a_{\text{танг}} = 42t = 42 \cdot 6 = 252 \, \text{рад/с}^2\]

Отже, величина кутової швидкості та кутового прискорення точки становлять 252 рад/с відповідно у момент часу \(t = 6\) секунд.