У вас есть прямоугольник с периметром 8 см. Найти значения сторон этого прямоугольника, при которых его площадь будет

Хорошо! Чтобы найти значения сторон прямоугольника при максимальной площади, мы можем использовать производные. Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть \(x\) и \(y\) - это длины двух сторон прямоугольника. Мы знаем, что периметр прямоугольника равен 8 сантиметрам:

\[2x + 2y = 8\]

Теперь нам нужно найти площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины, то есть \(S = xy\).

Мы также имеем ограничение, что периметр равен 8, так что мы можем переписать его в виде уравнения:

\[x + y = 4\]

Теперь мы можем выразить одну из переменных через другую. Давайте выразим \(y\) через \(x\):

\[y = 4 - x\]

Теперь мы можем заменить \(y\) в формуле для площади:

\[S = x(4 - x)\]

Для нахождения максимальной площади, возьмем производную площади по \(x\) и приравняем ее к нулю:

\[\frac{dS}{dx} = 4 - 2x = 0\]

Теперь найдем \(x\) из этого уравнения:

\[4 - 2x = 0\]
\[2x = 4\]
\[x = 2\]

Теперь мы найдем значение стороны \(y\) путем подстановки \(x = 2\) в уравнение \(y = 4 - x\):

\[y = 4 - 2\]
\[y = 2\]

Таким образом, при значениях сторон \(x = 2\) см и \(y = 2\) см площадь прямоугольника будет максимальной. Площадь такого прямоугольника будет:

\[S = x \cdot y = 2 \cdot 2 = 4 \, \text{см}^2\]

Итак, максимальная площадь прямоугольника равна 4 квадратным сантиметрам при значениях сторон 2 см и 2 см.