У вас есть прямоугольник с периметром 8 см. Найти значения сторон этого прямоугольника, при которых его площадь будет

У вас есть прямоугольник с периметром 8 см. Найти значения сторон этого прямоугольника, при которых его площадь будет максимальной. Решить задачу, используя производные.
ИИ помощник ИИ помощник в учёбе
Siren

Siren

Хорошо! Чтобы найти значения сторон прямоугольника при максимальной площади, мы можем использовать производные. Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть \(x\) и \(y\) - это длины двух сторон прямоугольника. Мы знаем, что периметр прямоугольника равен 8 сантиметрам:

\[2x + 2y = 8\]

Теперь нам нужно найти площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины, то есть \(S = xy\).

Мы также имеем ограничение, что периметр равен 8, так что мы можем переписать его в виде уравнения:

\[x + y = 4\]

Теперь мы можем выразить одну из переменных через другую. Давайте выразим \(y\) через \(x\):

\[y = 4 - x\]

Теперь мы можем заменить \(y\) в формуле для площади:

\[S = x(4 - x)\]

Для нахождения максимальной площади, возьмем производную площади по \(x\) и приравняем ее к нулю:

\[\frac{dS}{dx} = 4 - 2x = 0\]

Теперь найдем \(x\) из этого уравнения:

\[4 - 2x = 0\]
\[2x = 4\]
\[x = 2\]

Теперь мы найдем значение стороны \(y\) путем подстановки \(x = 2\) в уравнение \(y = 4 - x\):

\[y = 4 - 2\]
\[y = 2\]

Таким образом, при значениях сторон \(x = 2\) см и \(y = 2\) см площадь прямоугольника будет максимальной. Площадь такого прямоугольника будет:

\[S = x \cdot y = 2 \cdot 2 = 4 \, \text{см}^2\]

Итак, максимальная площадь прямоугольника равна 4 квадратным сантиметрам при значениях сторон 2 см и 2 см.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello