У трикутнику прямокутної форми, точка дотику вписаного кола, розбиває гіпотенузу на дві ділянки, довжина яких дорівнює

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать несколько геометрических свойств. Давайте начнем с треугольника прямоугольной формы, в который вписано круг.

По определению вписанного круга, точка касания круга с гипотенузой треугольника является точкой пересечения радиуса круга и гипотенузы, и она делит гипотенузу на две равные части. Также, поскольку треугольник является прямоугольным, мы знаем, что радиус круга - это половина длины гипотенузы.

Давайте обозначим длину гипотенузы как \( c \) и радиус круга как \( r \).

Мы знаем, что сумма длин двух отрезков, на которые делится гипотенуза точкой касания, равна длине гипотенузы. Поэтому, если один отрезок равен 6 см, а другой - 9 см, то можем составить следующее уравнение:

6 + 9 = c

Теперь выразим радиус круга через длину гипотенузы. По определению радиуса круга, он равен половине длины гипотенузы. То есть:

r = \(\frac{c}{2}\)

Теперь нам необходимо найти сумму длин всех сторон треугольника. Учитывая, что у нас есть сторона гипотенузы и радиус круга, нам нужно найти длину катетов.

Напомним вам теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

\(a^2 + b^2 = c^2\)

Где \(a\) и \(b\) - это длины катетов, а \(c\) - длина гипотенузы. Мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти длины катетов, используя известные значения.

Давайте решим уравнение для катета \(a\):

\(a^2 + (\frac{c}{2})^2 = 6^2\)

\(a^2 + \frac{c^2}{4} = 36\)

Умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\(4a^2 + c^2 = 144\)

Теперь найдем уравнение для катета \(b\):

\(b^2 + (\frac{c}{2})^2 = 9^2\)

\(b^2 + \frac{c^2}{4} = 81\)

Умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\(4b^2 + c^2 = 324\)

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a и b). Для решения этой системы уравнений нам нужно исключить одну из неизвестных, выразив ее через другую. Давайте выразим \(a\) из первого уравнения:

\(4a^2 + c^2 = 144\)

\(4a^2 = 144 - c^2\)

\(a^2 = \frac{144 - c^2}{4}\)

\(a = \sqrt{\frac{144 - c^2}{4}}\)

Теперь заменим \(a\) во втором уравнении, используя это выражение:

\(4b^2 + c^2 = 324\)

\(4(\sqrt{\frac{144 - c^2}{4}})^2 + c^2 = 324\)

\(\frac{144 - c^2}{4} + c^2 = 81\)

Умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\(144 - c^2 + 4c^2 = 324\)

\(3c^2 = 324 - 144\)

\(3c^2 = 180\)

\(c^2 = \frac{180}{3}\)

\(c = \sqrt{\frac{180}{3}}\)

Теперь у нас есть значение длины гипотенузы \( c \), и мы можем найти значения длин катетов \( a \) и \( b \) с помощью этих выражений:

\(a = \sqrt{\frac{144 - c^2}{4}}\)

\(b = \sqrt{\frac{144 - c^2}{4}}\)

Теперь мы можем найти сумму длин всех сторон треугольника:

Сумма длин всех сторон = \(a + b + c\)

Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в это уравнение и вычислим:

Сумма длин всех сторон = \(\sqrt{\frac{144 - c^2}{4}} + \sqrt{\frac{144 - c^2}{4}} + c\)

Сумма длин всех сторон = \(\sqrt{\frac{144 - (\sqrt{\frac{180}{3}})^2}{4}} + \sqrt{\frac{144 - (\sqrt{\frac{180}{3}})^2}{4}} + \sqrt{\frac{180}{3}}\)

Вычисляя эту сумму, мы получим ответ на задачу.