У треугольника NKM сторона NK равна 8, сторона KM равна 15, а заданная высота

Для начала давайте разберёмся, что такое высота треугольника. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к противоположной стороне.

Теперь перейдём к решению задачи. Дано, что сторона NK равна 8, а сторона KM равна 15. Для удобства, дадим обозначения вершинам треугольника: точка N первая вершина, точка K — вторая вершина, а точка M — третья вершина.

Для определения высоты треугольника, нам нужно знать длины двух сторон, между которыми эта высота опущена. В нашем случае, нам известны стороны NK и KM, а высоту обозначим как h.

Теперь воспользуемся формулой для вычисления площади треугольника по двум сторонам треугольника и между ними опущенной высоте:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона} \cdot \text{высота}\]

Зная, что площадь треугольника равна половине произведения его основания (длины одной стороны) на высоту, мы можем записать уравнение:

\[\frac{1}{2} \cdot NK \cdot h = S\]

Подставляя известные значения сторон NK и KM, получаем:

\[\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h = S\]

Теперь нам нужно найти площадь треугольника. Для этого воспользуемся формулой Герона, так как нам известны длины всех трёх сторон треугольника:

\[S = \sqrt{p \cdot (p - NK) \cdot (p - KM) \cdot (p - NM)}\]

где \(p\) — полупериметр треугольника.

Вычисляем полупериметр треугольника:

\[p = \frac{NK + KM + NM}{2}\]

Подставляем известные значения сторон NK и KM:

\[p = \frac{8 + 15 + NM}{2}\]

Сокращаем выражение:

\[p = \frac{23 + NM}{2}\]

Теперь подставляем это значение полупериметра в формулу для площади треугольника:

\[S = \sqrt{\left(\frac{23 + NM}{2}\right) \cdot \left(\frac{23 + NM}{2} - 8\right) \cdot \left(\frac{23 + NM}{2} - 15\right) \cdot \left(\frac{23 + NM}{2} - NM\right)}\]

Упрощаем выражение:

\[S = \sqrt{\left(\frac{23 + NM}{2}\right) \cdot \left(\frac{15 + NM}{2}\right) \cdot \left(\frac{8 + NM}{2}\right) \cdot \left(\frac{23 - NM}{2}\right)}\]

Теперь мы можем вернуться к первому уравнению и подставить найденное значение площади треугольника:

\[\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h = \sqrt{\left(\frac{23 + NM}{2}\right) \cdot \left(\frac{15 + NM}{2}\right) \cdot \left(\frac{8 + NM}{2}\right) \cdot \left(\frac{23 - NM}{2}\right)}\]

Теперь найдем решение для высоты треугольника \(h\). Для этого проведем необходимые вычисления:

\[h = \frac{2 \cdot \sqrt{\left(\frac{23 + NM}{2}\right) \cdot \left(\frac{15 + NM}{2}\right) \cdot \left(\frac{8 + NM}{2}\right) \cdot \left(\frac{23 - NM}{2}\right)}}{8}\]

Таким образом, мы получили формулу для вычисления высоты треугольника в зависимости от неизвестной стороны \(NM\). Вы можете подставить различные значения для \(NM\) и вычислить соответствующие значения высоты \(h\) для разных размеров треугольника. Например, если \(NM = 10\), то

\[h = \frac{2 \cdot \sqrt{\left(\frac{23 + 10}{2}\right) \cdot \left(\frac{15 + 10}{2}\right) \cdot \left(\frac{8 + 10}{2}\right) \cdot \left(\frac{23 - 10}{2}\right)}}{8} = \frac{2 \cdot \sqrt{33 \cdot 12 \cdot 9 \cdot 6}}{8} \approx 9.68\]