Яка довжина сторони правильного шестикутника, що описується навколо кола, в яке вписаний правильний трикутник довжиною

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства правильного шестиугольника и правильного треугольника.

Правильный треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны, а каждый угол равен 60 градусов.

Правильный шестиугольник - это многоугольник, у которого все стороны равны, а каждый угол равен 120 градусов.

Когда правильный треугольник вписывается внутрь окружности, все его вершины лежат на окружности. Когда правильный шестиугольник описывается вокруг окружности, все его вершины лежат на окружности.

Мы можем использовать свойство радиуса окружности, проходящей через вершины правильного шестиугольника, чтобы найти его длину.

Обозначим за R радиус окружности, описывающей правильный шестиугольник, и за r радиус окружности, вписанной внутрь правильного треугольника.

Согласно свойству радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника, справедливо R = AB = BC = CD = DE = EF = FA, где A, B, C, D, E, F - вершины шестиугольника.

Согласно свойству радиуса вписанной окружности для правильного треугольника, справедливо r = O1M = O2M = O3M, где O1, O2, O3 - центры вписанных окружностей треугольника, а M - точка касания вписанной окружности и одной из сторон треугольника.

Теперь рассмотрим треугольник O1MF. Он является правильным треугольником, так как угол MO1F = 90 градусов (так как радиус перпендикулярен касательной), а каждый угол равен 60 градусов.

Таким образом, O1F = O1M = r/2, где O1F - сторона треугольника O1MF.

Так как сторона треугольника O1MF равна половине стороны шестиугольника FA, можно сказать, что O1F = FA/2 = R/2.

Теперь у нас есть равенство O1F = r/2 и O1F = R/2.

Подставим r = R в уравнение O1F = R/2: R/2 = R/2

Следовательно, мы можем сделать вывод, что радиус окружности, описывающей правильный шестиугольник, будет равен радиусу окружности, вписанной внутрь правильного треугольника.

Таким образом, длина стороны шестиугольника, описанного вокруг окружности, в которую вписан равносторонний треугольник, будет равна удвоенному радиусу вписанной окружности.

Вывод: Чтобы найти длину стороны шестиугольника, нужно найти радиус окружности, вписанной внутрь треугольника, а затем удвоить его значение.

Дополнительно, можно выразить длину стороны шестиугольника, используя формулу:

\[ a = 2r \cdot \sqrt{3} \]

где a - длина стороны шестиугольника, r - радиус вписанной окружности.

Таким образом, в данной задаче, длина стороны правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности, в которую вписан правильный треугольник, будет равна \(a = 2r \cdot \sqrt{3}\), где r - радиус вписанной окружности.