У треугольника ABC прямой угол, ∢ A равен 60°, а AB равно 3 м. Необходимо найти длины сторон треугольника и радиус

Данная задача связана с треугольником ABC, у которого прямой угол, а также известны значение угла ∢ A, равное 60°, и длина стороны AB, равная 3 метрам. Для решения задачи мы можем использовать теоремы треугольника, такие как теорема Пифагора и теорема синусов.

1. Найдем длину стороны AC. Так как у треугольника ABC прямой угол, то ∢ B равен 90°. Используя теорему Пифагора, мы можем написать:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Подставив известные значения, получим:

\[AC^2 = 3^2 + BC^2\]

\[AC^2 = 9 + BC^2\] (1)

2. Найдем длину стороны BC. Так как у треугольника ABC прямой угол, а ∢ A равно 60°, то ∢ BAC также равно 30°. Используя теорему синусов:

\[\frac{BC}{\sin 60°} = \frac{AC}{\sin 30°}\]

Мы знаем, что \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin 30° = \frac{1}{2}\), поэтому можно переписать уравнение:

\[\frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}}\]

\[\frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2AC\]

\[BC = 2AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[BC = AC \cdot \sqrt{3}\] (2)

3. Теперь мы можем объединить полученные выражения для AC и BC. Подставив значение BC из уравнения (2) в уравнение (1), получим:

\[AC^2 = 9 + (AC \cdot \sqrt{3})^2\]

\[AC^2 = 9 + 3AC^2\]

\[2AC^2 = 9\]

\[AC^2 = \frac{9}{2}\]

\[AC = \sqrt{\frac{9}{2}}\]

\[AC = \frac{3\sqrt{2}}{2}\] (3)

4. Теперь найдем радиус R окружности, описывающей треугольник ABC. Радиус R является расстоянием от центра окружности до любой вершины треугольника. Так как у треугольника ABC прямой угол, то центр окружности будет находиться на перпендикулярной биссектрисе ∢ BAC, и он будет также являться серединой гипотенузы AC. Следовательно, длина R будет равна половине длины AC:

\[R = \frac{AC}{2}\]

Подставляя значение AC из уравнения (3), получим:

\[R = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2}\]

\[R = \frac{3\sqrt{2}}{4}\]

Округлим ответ до двух знаков после запятой:

\[R \approx 0,53\] м

Таким образом, длины сторон треугольника ABC составляют: AB = 3 м, AC = \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\) м и BC = \(AC \cdot \sqrt{3}\) м. Радиус окружности, описывающей треугольник, равен примерно 0,53 м.