У прямоугольника ABCD даны векторы |AB| = 8 и |BC| = 6. Точка O является точкой пересечения диагоналей прямоугольника

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойства векторов и прямоугольников. Давайте начнем.

Заметим, что возможны два случая: точка N может быть серединой стороны AB или стороны BC. Рассмотрим каждый случай по отдельности.

1. Пусть точка N является серединой стороны AB.

Сначала нам нужно найти вектор AO. Для этого мы можем воспользоваться свойством диагоналей прямоугольника, которое гласит, что диагонали прямоугольника равны по длине и пересекаются в их середине (в данном случае точке O).

Вектор AO будет совпадать с половиной диагонали AC:

\[
\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}
\]

Длина вектора AC равна сумме длин векторов AB и BC:

\[
|AC| = |AB| + |BC| = 8 + 6 = 14
\]

Теперь можем найти вектор AO:

\[
\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} \times 14 = 7
\]

Для нахождения длины вектора ON, мы можем воспользоваться свойством параллелограмма, которое гласит, что диагонали параллелограмма делятся пополам.

Так как точка N является серединой стороны AB, то |ON| будет равен половине длины стороны BC:

\[
|ON| = \frac{1}{2} |BC| = \frac{1}{2} \times 6 = 3
\]

Таким образом, длины векторов |AO| и |ON| при условии, что точка N является серединой стороны AB, равны 7 и 3 соответственно.

2. Пусть точка N является серединой стороны BC.

Аналогично предыдущему случаю, сначала найдем вектор AO. Вектор AO будет совпадать с половиной диагонали BD:

\[
\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BD}
\]

Длина вектора BD равна сумме длины векторов BC и CD:

\[
|BD| = |BC| + |CD| = 6 + 8 = 14
\]

Теперь можем найти вектор AO:

\[
\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} \times 14 = 7
\]

Для нахождения длины вектора ON, мы воспользуемся свойством параллелограмма. Так как точка N является серединой стороны BC, |ON| будет равным половине длины стороны AB:

\[
|ON| = \frac{1}{2} |AB| = \frac{1}{2} \times 8 = 4
\]

Таким образом, длины векторов |AO| и |ON| при условии, что точка N является серединой стороны BC, равны 7 и 4 соответственно.

Итак, мы рассмотрели оба случая и получили, что длины векторов |AO| и |ON| могут быть либо 7 и 3, если точка N - середина стороны AB, либо 7 и 4, если точка N - середина стороны BC.