Найдите длину высоты BD прямоугольного треугольника ABC, если из вершины прямого угла проведены отрезки AD = 2 см

Конечно! Для начала, давайте разберемся, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один из углов равен 90 градусам.

В нашей задаче у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где прямой угол находится в вершине С. Также в условии задачи сказано, что из вершины С проведены отрезки AD и DC, длины которых равны 2 см и 8 см соответственно.

Мы должны найти длину высоты BD прямоугольного треугольника ABC.

Данная задача имеет подсказку, которую мы можем использовать - факт о том, что высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника. Подобные треугольники имеют одинаковые соотношения сторон.

Рассмотрим подобные треугольники. Пусть h - длина высоты BD, а x - длина отрезка BD (для удобства). Таким образом, мы можем записать следующие пропорции:

\(\frac{BD}{AD} = \frac{BC}{AC}\)
\(\frac{BD}{2} = \frac{BC}{AC}\)

Аналогично, для второго треугольника имеем:

\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)
\(\frac{BD}{8} = \frac{AB}{AC}\)

У нас имеются две уравнения с двумя неизвестными (BD и AC). Мы можем решить их систему, чтобы найти значения этих неизвестных.

Давайте начнем с первого уравнения. Перемножим обе части уравнения на AC:

\(AC \cdot \frac{BD}{2} = BC\)

Теперь рассмотрим второе уравнение. Перемножим обе части на AC:

\(AC \cdot \frac{BD}{8} = AB\)

Мы знаем, что сумма катетов прямоугольного треугольника равна его гипотенузе. В нашем случае, катетами являются BC и AB, а гипотенузой - AC. Таким образом, мы можем записать:

\(BC + AB = AC\)

Теперь, используя эти три уравнения, мы можем решить систему уравнений.
Сначала подставим значения из первых двух уравнений в третье уравнение:

\(AC \cdot \frac{BD}{2} + AC \cdot \frac{BD}{8} = AC\)

Сократим AC:

\(\frac{BD}{2} + \frac{BD}{8} = 1\)

Теперь найдем общий знаменатель:

\(\frac{4BD}{8} + \frac{BD}{8} = 1\)

\(\frac{5BD}{8} = 1\)

Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на 8:

\(5BD = 8\)

И наконец, найдем длину высоты BD, разделив обе части уравнения на 5:

\(BD = \frac{8}{5} = 1.6\) см

Таким образом, длина высоты BD прямоугольного треугольника ABC равна 1.6 см.