У прямокутному трикутнику АВС з кутом С, рівним 90°, і кутом А, рівним 30°, КВ є бісектрисою трикутника. Яку довжину

Щоб знайти довжину катета СА в прямокутному трикутнику АВС, нам потрібно врахувати властивості бісектриси та використати тригонометрію.

В даній задачі ми знаємо, що кут С дорівнює 90°, а кут А дорівнює 30°. Також, ми знаємо, що КВ є бісектрисою трикутника.

Спочатку нам треба знайти кути ВКС та ВСК, щоб далі вирішити задачу. Оскільки КВ є бісектрисою, то ми можемо припустити, що кути ВКС і ВСК рівні між собою.

Запишемо:
\(\angle ВКС = \angle ВСК = x\) (припустимо, що вони рівні)
\(\angle ВАС = \angle ВКС + \angle ВСК = 2x\) (складаємо внутрішні кути трикутника)

Оскільки сума всіх внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°, то:
\(\angle АВС + \angle ВАС + \angle АСВ = 180°\)
\(90° + 2x + 30° = 180°\)
\(2x + 120° = 180°\)
\(2x = 60°\)
\(x = 30°\)

Отже, ми знайшли, що кути ВКС і ВСК дорівнюють 30°.

Тепер, згідно з бісектрисою трикутника, знаходження довжини катета СА похилого прямокутного трикутника АВС пов"язаний з відношенням бокових сторін даного трикутника.

Ми знаємо, що в прямокутному трикутнику відношення довжини катета до гіпотенузи дорівнює синусу прилеглого гострого кута.

Тобто, \(\frac{CA}{AV} = \sin(\angle ВАC)\), де AV - гіпотенуза трикутника.

Оскільки ми знаємо, що \(\angle ВАС = 2x\) і AV - гіпотенуза дорівнює КВ, ми можемо записати:

\(\frac{CA}{KV} = \sin(2x)\)

Так як в трикутнику КВС катет СА являє собою відрізок, відповідний катету в прямокутному трикутнику, то абсолютна довжина цього відрізку не впливає на величину операції.

Спрощуючи вираз, маємо:

\(\frac{CA}{KV} = \sin(2x)\)
\(\frac{CA}{AC} = \sin(2x)\) (заміна KV на AC)
\(1 = \sin(2x)\)

Отже, \(\sin(2x) = 1\). Щоб знайти значення кута, застосуємо обернену функцію синусу:

\(2x = \arcsin(1)\)

Тут ми отримаємо \(2x = 90°\), тому \(x = 45°\).

Тепер, коли ми знаємо значення x, ми можемо обрахувати довжину катета СА.

Записуємо:

\(\sin(x) = \frac{CA}{AC}\)

Оскільки x = 45°, то:

\(\sin(45°) = \frac{CA}{AC}\)

Ми знаємо, що \(\sin(45°) = \frac{1}{\sqrt{2}}\), застосовуємо це:

\(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{CA}{AC}\)

Множимо обиді частини на \(\sqrt{2}\), щоб позбутися знаменника:

\(1 = \frac{CA \cdot \sqrt{2}}{AC}\)

Тепер, ми можемо помножити обиді частини на AC, щоб позбутися від MA в знаменнику:

\(AC = CA \cdot \sqrt{2}\)

Остаточно, для знаходження довжини катета СА, ми можемо записати:

\(CA = \frac{AC}{\sqrt{2}}\)

Тепер, якщо ми знаємо довжину КВ, ми можемо обчислити довжину катета СА. Якщо ви надаєте довжину КВ, я зможу обчислити довжину СА.