Каков обьем прямой призмы, если ее основание образовано треугольником со сторонами 10, 10 и 12? Плоскость, проходящая

Чтобы определить объем прямой призмы, нам необходимо найти площадь основания и умножить ее на высоту призмы. Для начала рассмотрим основание прямой призмы, которое образовано треугольником со сторонами 10, 10 и 12.

Можно воспользоваться формулой Герона для вычисления площади треугольника по длинам его сторон. Формула Герона имеет вид:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника, \(p\) - полупериметр треугольника, который можно найти по формуле:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

В нашем случае, стороны треугольника равны 10, 10 и 12, поэтому:

\[p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16\]

Теперь, вставим значение \(p\) в формулу площади треугольника:

\[S = \sqrt{16(16 - 10)(16 - 10)(16 - 12)}\]

\[S = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4}\]

\[S = \sqrt{576}\]

\[S = 24\]

Таким образом, площадь основания прямой призмы равна 24.

Теперь, нам необходимо найти высоту призмы. Для этого, рассмотрим плоскость, проходящую через большую сторону нижнего основания и середину противоположного бокового ребра. Мы знаем, что эта плоскость образует угол 60 градусов с плоскостью основания.

Для решения задачи, воспользуемся тригонометрическим соотношением, которое связывает высоту призмы с углом наклона плоскости. В этом случае, мы можем использовать соотношение:

\[\text{высота} = \text{сторона} \cdot \sin(\text{угол})\]

где \(\text{высота}\) - искомая высота призмы, \(\text{сторона}\) - одна из сторон основания, а \(\text{угол}\) - угол наклона плоскости.

В нашем случае, у нас предоставлена сторона основания равная 10, а угол наклона плоскости равен 60 градусам. Подставим значения в формулу:

\[\text{высота} = 10 \cdot \sin(60^\circ)\]

Теперь, вычислим значение синуса 60 градусов:

\[\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Подставим это значение в формулу:

\[\text{высота} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[\text{высота} = 5\sqrt{3}\]

Теперь у нас есть и площадь основания, и высота призмы. Чтобы найти объем прямой призмы, нужно перемножить эти два значения:

\[V = \text{площадь} \cdot \text{высота}\]

\[V = 24 \cdot 5\sqrt{3}\]

\[V = 120\sqrt{3}\]

Таким образом, объем прямой призмы равен \(120\sqrt{3}\) кубических единиц.