У Олега было новое достижение в игре. Он попытался разложить все свои имеющиеся марки в новый альбом так, чтобы

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с того, что предположим, что общее количество марок у Олега равно \(x\).

Олег попытался расположить все свои марки в альбоме так, чтобы на каждой странице было по 8 марок. Но на последней заполненной странице оказалось всего 7 марок. Значит, мы можем записать это уравнение:

\[
8k + 7 = x
\]

где \(k\) — количество полностью заполненных страниц.

Затем Олег решил расположить марки по 6 штук на странице. На последней заполненной странице оказалось всего 5 марок. Это уравнение можно записать следующим образом:

\[
6m + 5 = x
\]

где \(m\) — новое количество полностью заполненных страниц.

Наконец, Олег начал располагать марки по 5 штук на страницу, и на всех заполненных страницах оказалось одинаковое количество марок. Обозначим это количество как \(n\). Тогда уравнение примет вид:

\[
5n = x
\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или любым другим удобным способом.

Давайте решим систему уравнений методом подстановки. Используя третье уравнение, заменим \(x\) на \(5n\) в двух других уравнениях:

\[
8k + 7 = 5n
\]
\[
6m + 5 = 5n
\]

Рассмотрим первое уравнение: \(8k + 7 = 5n\). Мы знаем, что \(n\) является целым числом и уравнение должно выполняться для всех целых \(n\). Давайте рассмотрим несколько значений \(n\) и найдем соответствующие значения \(k\):

\[
\begin{align*}
n &= 1: \quad 8k + 7 = 5 \cdot 1 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{{5 - 7}}{{8}} = -0.25 \quad \text{(нецелое число)} \\
n &= 2: \quad 8k + 7 = 5 \cdot 2 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{{10 - 7}}{{8}} = 0.375 \quad \text{(нецелое число)} \\
n &= 3: \quad 8k + 7 = 5 \cdot 3 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{{15 - 7}}{{8}} = 1 \quad \text{(целое число)}
\end{align*}
\]

Мы видим, что только при \(n = 3\) у нас получается целочисленное значение \(k\). Теперь, используя это значение \(k\), найдем \(m\):

\[
6m + 5 = 5 \cdot 3 \quad \Rightarrow \quad 6m + 5 = 15 \quad \Rightarrow \quad 6m = 10 \quad \Rightarrow \quad m = \frac{{10}}{{6}} = \frac{{5}}{{3}} \quad \text{(нецелое число)}
\]

Мы видим, что при \(n = 3\) достигается наименьшее количество марок, расположенных на каждой странице, с условием, что они заполняют страницы полностью.

Итак, ответ на задачу: у Олега есть 15 марок. При распределении их по 5 марок на каждой странице получится 3 полностью заполненные страницы.