1) Найдите значение AD и OD в треугольнике AOD с углом AOD и двумя параллельными плоскостями α и β. Плоскость

Перейдем к решению задач.

1) Для начала, построим треугольник AOD и отметим известные значения на нем:

\[
\begin{align*}
OB &= 3 \\
AB &= 2 \\
BC &= 7 \\
CD &= 3 \\
\end{align*}
\]

Также, обозначим угол между плоскостями α и β как \(\angle AOD\).

Теперь, для нахождения значения AD, мы можем использовать подобие треугольников AOB и COD. Так как плоскости α и β параллельны, то угол \(\angle AOD\) является вертикальным углом (или соответственным) углом \(\angle BOC\).

С помощью подобия треугольников AOB и COD, мы можем сказать, что:

\[
\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BC}
\]

Подставляя известные значения, получим:

\[
\frac{AD}{3} = \frac{2}{7}
\]

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:

\[
AD = \frac{2}{7} \times 3 = \frac{6}{7}
\]

Таким образом, значение AD равно \(\frac{6}{7}\).

Теперь давайте найдем значение OD. Мы можем использовать подобие треугольников BOC и DOA. Заметим, что угол \(\angle AOD\) является вертикальным углом (или соответственным) углом \(\angle BOC\).

Используя подобие, мы можем сказать, что:

\[
\frac{OD}{BC} = \frac{OB}{AB}
\]

Подставляя известные значения, получим:

\[
\frac{OD}{7} = \frac{3}{2}
\]

Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дроби:

\[
OD = \frac{3}{2} \times 7 = \frac{21}{2}
\]

Таким образом, значение OD равно \(\frac{21}{2}\).

Ответ: \(\frac{6}{7}\) и \(\frac{21}{2}\).

2) Рассмотрим отрезки AC и BD на плоскостях α и β соответственно. Обозначим длину отрезка AC как \(AC\) и длину отрезка BD как \(BD\).

Так как плоскости α и β параллельны, то отрезки AC и BD образуют соответственные сегменты от параллельных прямых. Значит, эти отрезки имеют одинаковое отношение к проекциям на плоскости.

Мы можем записать это отношение следующим образом:

\[
\frac{AC}{BD} = \frac{[AC]}{[BD]}
\]

где \([AC]\) и \([BD]\) обозначают проекции отрезков на плоскости.

Дано, что длина отрезка AC равна 17, а длина отрезка BD равна 13. То есть:

\[
\frac{17}{13} = \frac{[AC]}{[BD]}
\]

Умножим обе части уравнения на 13, чтобы избавиться от дроби:

\[
17 = \frac{[AC]}{[BD]} \times 13
\]

Теперь, чтобы получить сумму проекций, нужно заметить, что сумма проекций равна проекции суммы. То есть:

\[
[AD + BC] = [AC]
\]

Подставим известные значения:

\[
[AD + 7] = 17
\]

Выразим проекцию отрезка AD:

\[
[AD] = 17 - 7 = 10
\]

Теперь, чтобы найти проекцию отрезка BD, вычтем проекцию отрезка AD из общей длины отрезка BD:

\[
[BD] = 13 - 10 = 3
\]

Исходя из задачи, мы можем сказать, что \([AC] = 17\) и \([BD] = 3\).

Ответ: \([AC] = 17\) и \([BD] = 3\).