У колі MN з центром в точці О проведено радіуси ОN і ОК, який проходить через середину відрізка MN - точку P

Для решения данной задачи нам необходимо определить величины углов треугольника PNO.

В начале рассмотрим треугольник PKN. Так как Н - середина отрезка MN, а KP является радиусом круга, который проходит через середину отрезка, то отношение длины отрезка KP к длине отрезка KN равно \(\frac{1}{2}\). Также известно, что угол KNP составляет 35°.

Для определения углов треугольника PNO воспользуемся следующими свойствами:

1. Сумма углов треугольника равна 180°.
2. Углы, лежащие на одной дуге окружности, равны.

Обозначим углы треугольника PNO как \(\angle PON\), \(\angle PNO\) и \(\angle ONP\).

Учитывая, что угол KNP равен 35°, и используя свойство 2, можем заключить, что угол KOP также равен 35°.

Теперь воспользуемся свойством 1 и суммируем углы треугольника PNO:

\(\angle PON + \angle PNO + \angle ONP = 180°\)

Так как углы PNO и ONP лежат на одной дуге OP окружности, то они равны.

Подставим значение угла KOP вместо угла PNO:

35° + 35° + \(\angle ONP = 180°\)

Упростим уравнение:

70° + \(\angle ONP = 180°\)

Выразим \(\angle ONP\):

\(\angle ONP = 180° - 70°\)

\(\angle ONP = 110°\)

Таким образом, величина угла PNO равна 110°. Учитывая, что углы PNO и ONP равны, получаем:

\(\angle PNO = \angle ONP = 110°\)

В итоге, величина углов треугольника PNO равна: \(\angle PON = \angle PNO = \angle ONP = 110°\).