Какова площадь сечения, построенного через центр грани DCB, параллельно грани ADB на правильном тетраэдре с ребром

Чтобы найти площадь сечения, построенного через центр грани DCB, параллельно грани ADB на правильном тетраэдре, нам понадобится знать формулу для площади сечения параллелограмма.

Формула для площади сечения параллелограмма:
\(S = h \cdot a\),
где \(h\) - высота параллелограмма, а \(a\) - длина основания параллелограмма.

Так что нам нужно найти высоту и длину основания параллелограмма.

Поскольку речь идет о правильном тетраэдре, у которого все стороны и грани равны, мы можем предположить, что все грани являются равнобедренными треугольниками.

Найдем высоту параллелограмма. Если мы нарисуем высоту, она будет перпендикулярна основанию параллелограмма и будет разделять его на два равных треугольника. Так как треугольники равнобедренные, то высота разделит основание на две равные части.

Таким образом, длина основания параллелограмма будет равна половине длины грани DCB.

Длина грани DCB равна 21 см, поэтому длина основания параллелограмма будет \(21 \, \text{см}/2 = 10.5 \, \text{см}\).

Теперь нам нужно найти высоту параллелограмма. Это будет расстояние от центра грани DCB до основания параллелелограмма.

Поскольку грань DCB параллельна грани ADB, а центр грани DCB находится на оси симметрии тетраэдра, мы можем предположить, что высота параллелограмма будет также являться высотой тетраэдра.

Тетраэдр - это пирамида, у которой основание является равнобедренным треугольником, а вершина смещена по оси симметрии правильного треугольника на половину длины основания.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник, в котором известна длина гипотенузы (ребра тетраэдра) - 21 см, и один из катетов (половина основания тетраэдра) - 10.5 см. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту тетраэдра (или высоту параллелограмма):

\[
h^2 = a^2 - b^2
\],
где \(h\) - высота тетраэдра, \(a\) - гипотенуза, \(b\) - катет.

Подставляя известные значения, мы получаем:

\[
h^2 = 21^2 - 10.5^2
\],
\[
h^2 = 441 - 110.25
\],
\[
h^2 = 330.75
\].

Чтобы найти высоту тетраэдра, нам нужно извлечь квадратный корень из \(h^2\):

\[
h = \sqrt{330.75} \approx 18.18 \, \text{см}.
\]

Таким образом, высота параллелограмма, а, следовательно, и площадь сечения будет равна:

\[
S = h \cdot a
\],
\[
S = 18.18 \, \text{см} \cdot 10.5 \, \text{см}
\],
\[
S \approx 190.89 \, \text{см}^2.
\]

Таким образом, площадь сечения, построенного через центр грани DCB, параллельно грани ADB на правильном тетраэдре с ребром 21 см, составляет примерно 190.89 квадратных сантиметров.