У 10 любителей подледного лова рыбы, размещающихся независимо друг от друга на льду озера радиусом 1 км, каков шанс

Для решения данной задачи нужно рассмотреть вероятность того, что 3 или более рыбаков находятся на расстоянии больше 200 метров от берега. Для этого мы можем использовать метод комбинаторики.

Давайте разобьем озеро на две области: внутреннюю и внешнюю. Предположим, что радиус внешней области, в которой должны находиться 3 или более рыбака, равен 200 метрам.

Внешний круг радиусом 200 метров будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{cccccccccc}
& & & & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\
& & & \ast & \ast & & & & \ast & \ast \\
& & \ast & \ast & & & & & \ast & \ast \\
& \ast & \ast & & & & & & \ast & \ast \\
\ast & \ast & & & & \circ & & & \ast & \ast \\
& \ast & \ast & & & & & & \ast & \ast \\
& & \ast & \ast & & & & & \ast & \ast \\
& & & \ast & \ast & & & & \ast & \ast \\
& & & & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\
\end{array}
\]

Где звездочки (\(\ast\)) обозначают рыбаков, а круг (\(\circ\)) обозначает озеро радиусом 1 км.

Мы можем рассмотреть различные расположения рыбаков внутри озера.

1) Если все рыбаки находятся внутри круга радиусом 200 метров, то шанс того, что 3 или более рыбака находятся на расстоянии больше 200 метров от берега, равен нулю. В этом случае, ни один рыбак не находится на расстоянии больше 200 метров от берега.

2) Если один рыбак находится внутри круга радиусом 200 метров, а остальные 9 рыбаков находятся на расстоянии больше 200 метров от берега, то шанс такого события можно рассчитать как произведение вероятности нахождения одного рыбака внутри круга и вероятности нахождения остальных 9 рыбаков на расстоянии больше 200 метров от берега.

Вероятность нахождения одного рыбака внутри круга радиусом 200 метров можно рассчитать, разделив площадь круга на площадь озера:

\[
P_1 = \frac{\pi \cdot R^2}{\pi \cdot r^2} = \frac{200^2}{1000^2}
\]

где \(R = 200\) метров - радиус круга, \(r = 1000\) метров - радиус озера.

Вероятность нахождения остальных 9 рыбаков на расстоянии больше 200 метров от берега можно рассчитать, разделив площадь внешней области круга на площадь озера:

\[
P_2 = \frac{\pi \cdot (R - r)^2}{\pi \cdot R^2} = \frac{800^2}{1000^2}
\]

3) Аналогично можно рассмотреть случаи, когда 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9 рыбаков находятся внутри круга радиусом 200 метров, а остальные находятся на расстоянии больше 200 метров от берега.

Вероятность каждого из этих случаев можно рассчитать аналогично предыдущему.

После того, как мы рассмотрим все возможные случаи, при которых 3 или более рыбака находятся на расстоянии больше 200 метров от берега, мы должны сложить вероятности каждого случая, чтобы получить общую вероятность данного события.

Итак, общая вероятность того, что 3 или более рыбака будут находиться на расстоянии больше 200 метров от берега, равна сумме вероятностей каждого из вышеуказанных случаев:

\[
P_{\text{общая}} = P_1 \cdot P_2 + P_2 \cdot P_9 + P_3 \cdot P_7 + P_4 \cdot P_6 + P_5 \cdot P_5 + P_6 \cdot P_4 + P_7 \cdot P_3 + P_8 \cdot P_2 + P_9 \cdot P_1
\]

Вычислив значения каждой из вероятностей \(P_1, P_2, \ldots, P_9\) и подставив их в формулу, мы получим окончательное значение для общей вероятности.

Обратите внимание, что значения вероятностей \(P_1, P_2, \ldots, P_9\) должны быть меньше единицы, так как они являются отношениями площадей. Если мы получим значения больше единицы, значит, где-то допущена ошибка в расчётах.

Ответ на задачу будет окончательной полученной вероятностью. Нужно ли вычислить значения для \(P_1, P_2, \ldots, P_9\) и рассчитать общую вероятность?