Требуется провести вычисления несобственных интегралов или определить их расходимость. Необходимо предоставить полное

Конечно, я могу помочь вам с вычислением несобственных интегралов и определением их расходимости. Давайте начнем с основных понятий и методов.

Несобственный интеграл — это интеграл, имеющий хотя бы одну границу интегрирования, которая является бесконечностью или приближается к бесконечности. Такие интегралы могут иметь конечное значение или расходиться (не иметь конечного значения).

Существуют два типа несобственных интегралов: интегралы первого рода и интегралы второго рода.

Интегралы первого рода вычисляются следующим образом:
\[
\int_{a}^{+\infty} f(x) \,dx = \lim_{{b \to +\infty}} \int_{a}^{b} f(x) \,dx
\]
или
\[
\int_{-\infty}^{b} f(x) \,dx = \lim_{{a \to -\infty}} \int_{a}^{b} f(x) \,dx
\]
где функция \(f(x)\) определена на полуинтервале \([a, +\infty)\) или \((-\infty, b]\) соответственно.

Интегралы второго рода вычисляются следующим образом:
\[
\int_{a}^{b} f(x) \,dx = \lim_{{\epsilon \to 0}} \left( \int_{a}^{c-\epsilon} f(x) \,dx + \int_{c+\epsilon}^{b} f(x) \,dx \right)
\]
где функция \(f(x)\) может иметь точку разрыва или бесконечность внутри отрезка \([a, b]\), а точка \(c\) является точкой разрыва или бесконечностью.

Расходимость несобственного интеграла означает, что интеграл не имеет конечного значения.

Чтобы определить, сходится ли несобственный интеграл, мы используем методы сравнения и интегральный признак.

Метод сравнения состоит в сравнении данного интеграла с интегралом известной функции, у которой известны свойства. Например, если функция \(f(x)\) всюду неотрицательна и ограничена сверху функцией \(g(x)\), и если интеграл \(\int_{a}^{+\infty} g(x) \,dx\) сходится, то интеграл \(\int_{a}^{+\infty} f(x) \,dx\) сходится, и наоборот.

Интегральный признак заключается в сравнении функции \(f(x)\) с функцией \(\frac{1}{{x^{p}}}\), где \(p\) — выбираемое значение. Если \(\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{{x^{p}}} \,dx\) сходится, то и \(\int_{a}^{+\infty} f(x) \,dx\) сходится, и наоборот.

Надеюсь, это объяснение поможет вам понять, как проводить вычисления несобственных интегралов и определить их расходимость.