Требуется предоставить решение с чертежом. В треугольнике АВС длины сторон АВ и BС равны, угол ACB составляет

Для начала, давайте изобразим заданную ситуацию на чертеже.

$$\begin{array}{cc}& Y\\ A& ⟶B\\ & \swarrow \searrow \\ X& ⟶C\end{array}$$

Из условия известно, что сторона $AB$ равна стороне $BC$, угол $ACB$ равен 75 градусам, а стороны $AX$ и $BX$ также равны. Для удобства обозначим длину стороны $AB$ и $BC$ через $x$, а длину отрезка $AY$ через $y$. Тогда, в треугольнике $ABC$ мы имеем:

1) Сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому угол $ABC$ равен $180-75-75=30$ градусов.

2) Так как стороны $AB$ и $BC$ равны, то треугольник $ABC$ является равнобедренным.

3) Также, так как угол $BAX$ равен углу $YAX$, то треугольники $ABX$ и $AYX$ подобны.

Теперь, мы можем перейти к решению.

На чертеже можно заметить, что треугольник $ABC$ -- равносторонний или равносторонний, поэтому длины сторон $AB$ и $BC$ также равны $x$.

Из треугольника $ABX$ мы можем найти длину стороны $AX$. По условию, $AX=BX=10$.

Так как треугольники $ABX$ и $AYX$ подобны, можно составить пропорцию между сторонами треугольников:

$$\frac{AX}{AB}=\frac{AY}{AC}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{10}{x}=\frac{y}{x+y}$$

Перемножим значения в пропорции:

$$10(x+y)=xy$$

Раскроем скобки:

$$10x+10y=xy$$

Теперь давайте решим уравнение относительно $y$:

$$xy-10y-10x=0$$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$$y^2-10y-10x=0$$

Осталось решить это уравнение. Воспользуемся квадратным уравнением вида $a{x}^2+bx+c=0$:

$$y=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

В данном случае, коэффициенты равны: $a=1$, $b=-10$, $c=-10x$. Подставим их в формулу:

$$y=\frac{10\pm \sqrt{(-10{)}^2-4(1)(-10x)}}{2(1)}$$

Упростим выражение под корнем:

$$y=\frac{10\pm \sqrt{100+40x}}{2}$$

Так как $y$ является длиной стороны, она не может быть отрицательной, поэтому выбираем положительное значение:

$$y=\frac{10+\sqrt{100+40x}}{2}$$

Таким образом, мы получили формулу для длины отрезка $AY$:

$$AY=\frac{10+\sqrt{100+40x}}{2}$$

Теперь, мы можем подставить известное значение: $x=10$, и найти итоговый ответ:

$$AY=\frac{10+\sqrt{100+40(10)}}{2}$$