Требуется предоставить решение с чертежом. В треугольнике АВС длины сторон АВ и BС равны, угол ACB составляет

Для начала, давайте изобразим заданную ситуацию на чертеже.

\[
\begin{array}{cc}
&Y \\
A &\longrightarrow B\\
& \swarrow \searrow \\
X & \longrightarrow C
\end{array}
\]

Из условия известно, что сторона \(AB\) равна стороне \(BC\), угол \(ACB\) равен 75 градусам, а стороны \(AX\) и \(BX\) также равны. Для удобства обозначим длину стороны \(AB\) и \(BC\) через \(x\), а длину отрезка \(AY\) через \(y\). Тогда, в треугольнике \(ABC\) мы имеем:

1) Сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому угол \(ABC\) равен \(180 - 75 - 75 = 30\) градусов.

2) Так как стороны \(AB\) и \(BC\) равны, то треугольник \(ABC\) является равнобедренным.

3) Также, так как угол \(BAX\) равен углу \(YAX\), то треугольники \(ABX\) и \(AYX\) подобны.

Теперь, мы можем перейти к решению.

На чертеже можно заметить, что треугольник \(ABC\) -- равносторонний или равносторонний, поэтому длины сторон \(AB\) и \(BC\) также равны \(x\).

Из треугольника \(ABX\) мы можем найти длину стороны \(AX\). По условию, \(AX = BX = 10\).

Так как треугольники \(ABX\) и \(AYX\) подобны, можно составить пропорцию между сторонами треугольников:

\[
\frac{AX}{AB} = \frac{AY}{AC}
\]

Подставим известные значения:

\[
\frac{10}{x} = \frac{y}{x+y}
\]

Перемножим значения в пропорции:

\[
10(x+y) = xy
\]

Раскроем скобки:

\[
10x + 10y = xy
\]

Теперь давайте решим уравнение относительно \(y\):

\[
xy - 10y - 10x = 0
\]

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

\[
y^2 - 10y - 10x = 0
\]

Осталось решить это уравнение. Воспользуемся квадратным уравнением вида \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

В данном случае, коэффициенты равны: \(a = 1\), \(b = -10\), \(c = -10x\). Подставим их в формулу:

\[
y = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(-10x)}}{2(1)}
\]

Упростим выражение под корнем:

\[
y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 40x}}{2}
\]

Так как \(y\) является длиной стороны, она не может быть отрицательной, поэтому выбираем положительное значение:

\[
y = \frac{10 + \sqrt{100 + 40x}}{2}
\]

Таким образом, мы получили формулу для длины отрезка \(AY\):

\[
AY = \frac{10 + \sqrt{100 + 40x}}{2}
\]

Теперь, мы можем подставить известное значение: \(x = 10\), и найти итоговый ответ:

\[
AY = \frac{10 + \sqrt{100 + 40(10)}}{2}
\]