Какова длина гипотенузы АВ в треугольнике ABC, где угол С равен 90°, высота CD = 3 см и острый угол равен 30°?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Исходя из условия задачи, мы знаем, что угол С равен 90°, а острый угол равен 30°. Также дана высота CD, которая равна 3 см.

Позвольте мне построить треугольник ABC и проиллюстрировать его:

\[AB = c\] - гипотенуза
\[BC = a\] - катет
\[AC = b\] - катет

A
/|
c / |
/ |
B/___| C
a

Мы знаем, что \(\angle C = 90^\circ\), так что треугольник ABC является прямоугольным треугольником.

Теперь давайте посмотрим на треугольник BCD:

\[CD = 3\] (дано в условии)

Поскольку угол С равен 90°, треугольник BCD также является прямоугольным треугольником. Это означает, что \(\angle B\) равен 60° (так как острый угол равен 30°).

Мы знаем, что \(\angle B = 60^\circ\).

Теперь давайте посмотрим на треугольник BAC:

\[AC = b\] (по определению)
\[BC = a\] (по определению)
\(\angle BAC = 90^\circ\) (так как это прямой угол)

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник BAC с известными сторонами и углами.

Используя основные соотношения в прямоугольном треугольнике, мы можем записать уравнения:

\[\sin(\angle B) = \frac{{BC}}{{AB}}\]
\[\sin(60^\circ) = \frac{{a}}{{c}}\]

Известно, что \(\sin(60^\circ) = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\), поэтому мы можем заменить его в уравнении:

\[\frac{{\sqrt{3}}}{{2}} = \frac{{a}}{{c}}\]

Теперь вернемся к треугольнику BCD.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы записать уравнение для гипотенузы BC:

\[BD^2 + CD^2 = BC^2\]

Учитывая, что BD = 3 (поскольку BC и CD являются высотой и основанием прямоугольного треугольника, соответственно), мы можем заменить значения и получить:

\[3^2 + 3^2 = BC^2\]

Вычислив это уравнение, мы получаем:

\[9 + 9 = BC^2\]
\[18 = BC^2\]

Таким образом, \(BC = \sqrt{18}\) или \(BC = 3\sqrt{2}\).

Теперь мы можем вернуться к уравнению \(\frac{{\sqrt{3}}}{{2}} = \frac{{a}}{{c}}\) и подставить BC:

\[\frac{{\sqrt{3}}}{{2}} = \frac{{3\sqrt{2}}}{{c}}\]

Мы хотим найти длину гипотенузы AB, то есть c. Для этого мы можем переставить уравнение:

\[c = \frac{{3\sqrt{2}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}}}\]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[c = \frac{{3\sqrt{2}\cdot 2}}{{\sqrt{3}}}\]
\[c = \frac{{6\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}\]
\[c = \frac{{6\sqrt{6}}}{{3}}\]
\[c = 2\sqrt{6}\]

Таким образом, длина гипотенузы AB в треугольнике ABC равна \(2\sqrt{6}\) см.