Требуется найти решение неравенства для выражения 4(1-tgx)^2020+(1+tgx)^2022≥2^2022

Хорошо, давайте решим данное неравенство шаг за шагом.

Начнем с упрощения выражения. Обратите внимание, что \(tgx\) - это тангенс угла \(x\). Давайте заменим \(tgx\) на \(t\) для удобства:

\[4(1-t)^{2020} + (1+t)^{2022} \geq 2^{2022}\]

Теперь разложим выражение по биному Ньютона:

\[4\sum_{k=0}^{2020} \binom{2020}{k}(-t)^k + \sum_{k=0}^{2022} \binom{2022}{k}t^k \geq 2^{2022}\]

Заметим, что первое слагаемое является разложением бинома Ньютона \((1-t)^{2020}\), а второе слагаемое - разложением \((1+t)^{2022}\). Теперь давайте упростим выражение еще больше:

\[4\binom{2020}{0}(-t)^0 + 4\binom{2020}{1}(-t)^1 + \ldots + 4\binom{2020}{2019}(-t)^{2019} + 4\binom{2020}{2020}(-t)^{2020} + \binom{2022}{0}t^0 + \binom{2022}{1}t^1 + \ldots + \binom{2022}{2021}t^{2021} + \binom{2022}{2022}t^{2022} \geq 2^{2022}\]

Сократив биномиальные коэффициенты, получим:

\[4 + 4\binom{2020}{1}(-t) + \ldots + 4\binom{2020}{2019}(-t)^{2019} + 4\binom{2020}{2020}(-t)^{2020} + 1 + \binom{2022}{1}t + \ldots + \binom{2022}{2021}t^{2021} + \binom{2022}{2022}t^{2022} \geq 2^{2022}\]

Теперь учтем, что для любого \(x\), \(-t = -tgx \leq -1\), так как тангенс угла \(x\) находится в интервале \([-1, 1]\).

Таким образом, заменим \(-t\) на \(-1\) и получим:

\[4 - 4\binom{2020}{1} + \ldots + 4\binom{2020}{2019} - 4\binom{2020}{2020} + 1 + \binom{2022}{1}t + \ldots + \binom{2022}{2021}t^{2021} + \binom{2022}{2022}t^{2022} \geq 2^{2022}\]

Далее, заметим, что первые 2020 членов в левой части равны 0:

\[1 + \binom{2022}{1}t + \ldots + \binom{2022}{2021}t^{2021} + \binom{2022}{2022}t^{2022} \geq 2^{2022}\]

Теперь можем заметить, что выражение в левой части отражает раскрытое разложение бинома Ньютона \((1+t)^{2022}\). Таким образом, левая часть неравенства равна \((1+t)^{2022}\):

\[(1+t)^{2022} \geq 2^{2022}\]

Для выполнения данного неравенства, необходимо и достаточно, чтобы \(1+t \geq 2\). Из данного неравенства следует, что \(t \geq 1\).

Таким образом, решением данного неравенства является \(t \geq 1\), где \(t = tgx\).

Итак, ответ: решением данного неравенства является \(tgx \geq 1\), или, в терминах угла \(x\), \(x \geq arctg(1)\).