Требуется найти объём правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, если через сторону AB нижнего основания и середину ребра

Чтобы найти объём правильной треугольной призмы, мы можем разделить эту задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найдите площадь треугольника ABC.
Поскольку треугольник ABC является правильным, все его стороны равны. Площадь равно \(S_{ABC} = \frac{{AB \cdot BC}}{2}\). Так как сторона BC равна AB, мы можем записать \(S_{ABC} = \frac{{AB \cdot AB}}{2} = \frac{{AB^2}}{2}\).

Шаг 2: Найдите высоту треугольной призмы.
Так как сечение проведено под углом 30 градусов к плоскости основания, высота призмы равна высоте треугольника ABC. Используем теорему Пифагора для нахождения высоты треугольника: \(h = \sqrt{AB^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{AB^2 - \frac{AB^2}{4}} = \sqrt{\frac{3AB^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}AB}{2}\).

Шаг 3: Найдите площадь основания A1B1C1.
Поскольку призма правильная, все её основания имеют одинаковую площадь. Зная площадь треугольника ABC, мы можем найти площадь основания A1B1C1: \(S_{A1B1C1} = S_{ABC} = \frac{{AB^2}}{2}\).

Шаг 4: Найдите объём призмы.
Объём призмы можно найти, умножив площадь основания A1B1C1 на высоту призмы: \(V = S_{A1B1C1} \cdot h = \frac{{AB^2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}AB}{2} = \frac{{AB^3\sqrt{3}}}{4}\).

Теперь сравним полученный результат с данными вариантами ответа.

Вариант ответа 1: \(3b^2\sqrt{3}\).
Вариант ответа 2: \(2b^3\sqrt{3}\).
Вариант ответа 3: \(4b^3\sqrt{2}\).

Подставим \(AB = 2b\) в выражение для объёма и упростим его:
\(V = \frac{{(2b)^3\sqrt{3}}}{4} = \frac{{8b^3\sqrt{3}}}{4} = 2b^3\sqrt{3}\).

Таким образом, правильный ответ - вариант 2: \(2b^3\sqrt{3}\).