Трансформируйте выражение tg(пи/4 - альфа) в терминах тригонометрических функций угла альфа

Конечно! Давайте решим данную задачу пошагово.

1. Нам нужно трансформировать выражение \(\tan\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\) в терминах тригонометрических функций угла \(\alpha\).

2. Давайте воспользуемся формулой сложения для тангенса: \(\tan(\alpha + \beta) = \frac{{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}}{{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)}}\).

3. В данном случае, у нас \(\beta = -\alpha\). Подставим это значение в формулу и получим: \(\tan\left(\frac{\pi}{4} + (-\alpha)\right)\).

4. Следовательно, \(\tan\left(\frac{\pi}{4} + (-\alpha)\right) = \frac{{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \tan(-\alpha)}}{{1 - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\tan(-\alpha)}}\).

5. Заметим, что \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\), так как тангенс 45-градусного угла равен 1.

6. Используем тригонометрическое тождество: \(\tan(-\alpha) = -\tan(\alpha)\).

7. Подставим значения \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\) и \(\tan(-\alpha)\) в формулу: \(\frac{{1 - \tan(\alpha)}}{{1 + \tan(\alpha)}}\).

8. Упростим дробь, помножив числитель и знаменатель на \(1 - \tan(\alpha)\): \(\frac{{(1 - \tan(\alpha))(1 - \tan(\alpha))}}{{(1 + \tan(\alpha))(1 - \tan(\alpha))}}\).

9. Сократим выражения в числителе и знаменателе: \(\frac{{1 - 2\tan(\alpha) + \tan^2(\alpha)}}{{1 - \tan^2(\alpha)}}\).

10. Здесь мы можем заметить, что \(\tan^2(\alpha) = \frac{{\sin^2(\alpha)}}{{\cos^2(\alpha)}}\) и \(\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)\), с помощью соотношений тригонометрии.

11. Подставим эти значения в предыдущее выражение: \(\frac{{1 - 2\tan(\alpha) + \frac{{\sin^2(\alpha)}}{{\cos^2(\alpha)}}}}{{1 - \frac{{\sin^2(\alpha)}}{{\cos^2(\alpha)}}}}\).

12. Умножим числитель и знаменатель дроби на \(\cos^2(\alpha)\) для сокращения выражений: \(\frac{{\cos^2(\alpha) - 2\tan(\alpha)\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)}}{{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)}}\).

13. Мы можем заметить, что \(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = \cos(2\alpha)\), используя формулу двойного угла для косинуса.

14. Подставим это значение в предыдущее выражение: \(\frac{{\cos^2(\alpha) - 2\tan(\alpha)\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)}}{{\cos(2\alpha)}}\).

15. Заметим, что \(\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)\), с помощью соотношений тригонометрии.

16. Подставим это значение в предыдущее выражение: \(\frac{{\cos^2(\alpha) - 2\tan(\alpha)\cos^2(\alpha) + 1 - \cos^2(\alpha)}}{{\cos(2\alpha)}}\).

17. Упростим числитель, выделив общий множитель \(\cos^2(\alpha)\): \(\frac{{(1 - \cos^2(\alpha)) - 2\tan(\alpha)\cos^2(\alpha) + 1}}{{\cos(2\alpha)}}\).

18. Упростим числитель: \(\frac{{1 - 3\cos^2(\alpha) - 2\tan(\alpha)\cos^2(\alpha)}}{{\cos(2\alpha)}}\).

19. Воспользуемся соотношением \(\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1\) для дальнейшего упрощения.

20. Подставим это значение в предыдущее выражение: \(\frac{{1 - 3\cos^2(\alpha) - 2\tan(\alpha)\cos^2(\alpha)}}{{2\cos^2(\alpha) - 1}}\).

Это и есть итоговое выражение \(\frac{{1 - 3\cos^2(\alpha) - 2\tan(\alpha)\cos^2(\alpha)}}{{2\cos^2(\alpha) - 1}}\) для выражения \(\tan\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\)\) в терминах тригонометрических функций угла \(\alpha\). Оно может быть упрощено еще дальше, но данное выражение уже удовлетворяет исходному условию задачи.