Task 1: The base of trapezoid ABCD is in the plane α. Parallel lines are drawn through the vertices B and C

Задача 1:
a) Чтобы определить связь между прямыми NK и AB, рассмотрим свойства трапеции.
Так как NK - это прямая, проходящая через вершину B, она будет параллельна основанию трапеции AD.

Фактически, NK и AB являются параллельными прямыми.

b) Чтобы найти угол между прямыми NK и AB, у нас есть данное значение угла ∠ABC, равное 150°. Рассмотрим следующие факты:

1. Углы при основаниях трапеции равны. То есть ∠ADB = ∠CDA.
2. Сумма углов в треугольнике равна 180°. То есть ∠ADC = 180° - ∠ACD - ∠CDA.

Используя эти факты, мы можем выразить угол между прямыми NK и AB через данное значение угла ∠ABC:

\[
\angle{ABD} = \angle{ADB} - \angle{ABD} = \angle{ADC} - \angle{ABC}
\]

Подставим это второе равенство:

\[
\angle{ABD} = (180° - \angle{ACD} - \angle{CDA}) - \angle{ABC}
\]

Таким образом, чтобы найти угол между прямыми NK и AB, нам потребуется знать значение угла ∠ACD. Спасибо, мы уже знаем, что ∠ABC = 150°, но нам нужна информация про угол ∠ACD, чтобы дать более точный ответ.

Задача 2:
a) Чтобы определить связь между линиями MN и AB, рассмотрим свойства медианы треугольника.

Медиана - это прямая, которая соединяет середину одной стороны треугольника с противоположным углом. В данном случае, MN - медиана треугольника ADC, которая соединяет середину стороны AD с вершиной C.

Фактически, MN и AB являются параллельными прямыми.

b) Чтобы найти угол между прямыми MN и AB, у нас есть данное значение угла ∠ABC, равное 40°, и угла ∠BCA, равное 80°. Рассмотрим следующие факты:

1. Углы при основаниях треугольника равны. То есть ∠BAC = ∠DCA.
2. Сумма углов в треугольнике равна 180°. То есть ∠DAC = 180° - ∠ADC - ∠ACD.

Используя эти факты, мы можем выразить угол между прямыми MN и AB через данные значения углов ∠ABC и ∠BCA:

\[
\angle{BAM} = \angle{BAC} - \angle{CAM} = \angle{DCA} - \angle{BCA}
\]

Заменим значения углов согласно данным:

\[
\angle{BAM} = (180° - \angle{ADC} - \angle{ACD}) - \angle{BCA}
\]

Таким образом, чтобы найти угол между прямыми MN и AB, нам потребуется знать остальные значения углов ∠ADC и ∠ACD. Мы уже знаем ∠BCA = 80°, но нам нужна дополнительная информация для детального ответа. Будьте добры, уточните значения этих углов.