Task 1. Plot the graph of the function f(x)=x^2-2x-3. Using the graph, find: 1) the maximum and minimum values

Задача 1. Постройте график функции \(f(x) = x^2 - 2x - 3\). Используя график, найдите: 1) максимальное и минимальное значения функции; 2) область значений функции; 3) интервалы возрастания и убывания функции; 4) множество решений неравенство \(f(x) < 0\), \(f(x) > 0\).

Шаг 1: Построение графика функции \(f(x) = x^2 - 2x - 3\)

Для построения графика функции, мы можем использовать координатную плоскость. Разметим оси координат и отметим значения функции для различных значений \(x\).

Таблица значений функции:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-2 & -3 \\
-1 & 0 \\
0 & -3 \\
1 & -4 \\
2 & -3 \\
3 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Шаг 2: Построение графика

На координатной плоскости отметим точки с координатами (−2,−3), (−1,0), (0,−3), (1,−4), (2,−3), (3,0) и проведем гладкую кривую через эти точки.

Шаг 3: Решение задачи

1) Максимальное и минимальное значения функции:

На графике мы видим, что функция \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) достигает максимального значения в точке (1, -4) и минимального значения в точке (−2, −3).

2) Область значений функции:

Область значений функции - это множество всех возможных значений \(y\) при заданных значениях \(x\). Из графика видно, что все значения функции лежат ниже или на уровне значения -3.

3) Интервалы возрастания и убывания функции:

Интервалы возрастания функции - это промежутки, на которых значение функции увеличивается. Интервалы убывания функции - это промежутки, на которых значение функции уменьшается.

На графике функции \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) мы видим, что она возрастает на интервале от \((-2, 1)\) и убывает на интервалах \((-\infty, -2)\) и \((1, \infty)\).

4) Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) и \(f(x) > 0\):

Для решения неравенств на основе графика, мы определяем интервалы, где значение функции меньше либо больше нуля.

На графике функции \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) мы видим, что \(f(x) < 0\) на интервалах \((-2, 1)\), а \(f(x) > 0\) на интервалах \((-\infty, -2)\) и \((1, \infty)\).

Задача 2. Постройте график функции \(f(x) = 6x - 2x^2\). Используя график, найдите: те же 3 задачи, что и в предыдущем вопросе; 4) множество решений неравенство \(f(x) > 0\), \(f(x) < 0\).

Перейдем к новой задаче...