1. Какова площадь проекции равнобедренного треугольника на плоскость, если его боковая сторона равна 3 см, а угол

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся некоторые знания о геометрии и проекции. Давайте рассмотрим каждый шаг по порядку.

Шаг 1: Найдем высоту треугольника
У нас есть равнобедренный треугольник, поэтому высота, проведенная к основанию, будет одновременно являться медианой и биссектрисой. Это означает, что она будет делить основание пополам и разбивать угол напротив основания на два равных угла.

Так как у нас задан угол напротив основания равный 30°, то у нас получится два угла, равных по 75° каждый (180° - 30° = 150°, разделим на два).

Теперь рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник, в котором угол между высотой и одной из половин основания равен 75°. По теореме синусов, мы можем найти высоту треугольника следующим образом:

\[\text{высота} = \frac{(\text{боковая сторона}) \times \sin(\text{угол между боковой стороной и высотой})}{\sin(\text{угол между боковой стороной и основанием})}\]

Подставив значения в формулу, получим:

\[\text{высота} = \frac{(3 \, \text{см}) \times \sin(75°)}{\sin(30°)}\]

Посчитаем численно:

\[\text{высота} \approx \frac{3 \times 0.9659}{0.5} \approx 5.7936 \approx 5.79 \, \text{см}\]

Шаг 2: Найдем длину проекции на плоскость
Так как плоскость треугольника наклонена к плоскости проекции под углом 60°, мы можем использовать тригонометрическую функцию косинуса, чтобы найти длину проекции.

Формула для нахождения проекции:

\[\text{проекция} = \text{высота} \times \cos(\text{угол между плоскостью проекции и плоскостью треугольника})\]

Подставив значения, получим:

\[\text{проекция} = 5.79 \, \text{см} \times \cos(60°)\]

\[\text{проекция} \approx 5.79 \times 0.5 \approx 2.895 \approx 2.90 \, \text{см}\]

Ответ: Площадь проекции равнобедренного треугольника на плоскость составляет 2.90 квадратных сантиметра.

Обратите внимание, что результат округлен до двух знаков после запятой для удобства школьника.