Существуют ли два последовательных числа, у которых сумма цифр является четной и оба числа красивыми?

Для решения этой задачи, нужно разобраться в определении "красивых чисел" и понять, каким образом можно искать два последовательных числа, удовлетворяющих условиям задачи.

"Красивыми числами" будем называть числа, у которых количество цифр в их двоичной записи равно количеству цифр в их восьмеричной записи. Другими словами, если количество битов в двоичной записи числа равно числу цифр в его восьмеричной записи, то такое число считается "красивым".

Давайте исследуем последовательность примеров, чтобы убедиться, что такие числа существуют.

Предположим, мы ищем два последовательных числа, у которых сумма цифр является четной и оба числа красивыми. Для простоты, мы начнем с поиска красивых чисел, которые идут друг за другом, а затем проверим, является ли сумма их цифр четной.

Пусть \(n\) - одно из красивых чисел, а \(n+1\) - следующее красивое число. Рассмотрим их двоичные и восьмеричные записи.

Для числа \(n\):
Двоичная запись: \(\text{{bin}}(n)\)
Восьмеричная запись: \(\text{{oct}}(n)\)

Для числа \(n+1\):
Двоичная запись: \(\text{{bin}}(n+1)\)
Восьмеричная запись: \(\text{{oct}}(n+1)\)

Проверим условие: количество цифр в двоичной записи должно быть равно количеству цифр в восьмеричной записи для обоих чисел.

То есть, мы должны проверить следующее:
\[|\text{{bin}}(n)| = |\text{{oct}}(n)|\]
\[|\text{{bin}}(n+1)| = |\text{{oct}}(n+1)|\]

Теперь, если оба числа удовлетворяют этому условию, мы должны проверить сумму цифр и убедиться, что она является четной.

Сумма цифр числа \(n\) будет равна \(S(n)\), а сумма цифр числа \(n+1\) будет равна \(S(n+1)\).
Если сумма цифр является четной, то \(S(n) + S(n+1)\) также будет четной.

Таким образом, мы должны искать два последовательных красивых числа, удовлетворяющих следующим условиям:

\[
\begin{align*}
|\text{{bin}}(n)| &= |\text{{oct}}(n)| \\
|\text{{bin}}(n+1)| &= |\text{{oct}}(n+1)| \\
S(n) + S(n+1) &\equiv 0 \pmod{2}
\end{align*}
\]

Теперь, чтобы найти пример таких чисел, можно приступить к перебору и проверке всех возможных значений \(n\). Цикл перебора можно настроить, чтобы он останавливался, когда первое подходящее \(n\) будет найдено.

Вместе с этим, хочу отметить, что перебор всех значений может быть времязатратным процессом при больших значениях \(n\), потому что нам нужно проверить множество комбинаций.