Существует класс с 30 учениками, в том числе 8 отличниками и двумя отстающими. Вероятность решить предложенную задачу

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется применить формулу условной вероятности. Обозначим событие A как "выбранный ученик является отличником" и событие B как "выбранный ученик решил задачу".

Мы знаем, что вероятность решить задачу для отличника равна 0,9, а для отстающего - 0,3. Также известно, что в классе 8 отличников и 2 отстающих.

Мы хотим найти вероятность того, что выбранный ученик является отличником, при условии, что он решил задачу. Другими словами, мы ищем P(A|B), то есть вероятность события A при условии B.

Формула для условной вероятности имеет вид:

\[P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

где P(A \cap B) обозначает вероятность одновременного наступления событий A и B, а P(B) - вероятность события B.

Давайте сначала найдем P(A \cap B). Это вероятность того, что выбранный ученик является отличником и решил задачу. Так как оба этих события независимы друг от друга (т.е. решение задачи не зависит от того, является ли ученик отличником или нет), мы можем использовать произведение вероятностей:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]

Мы знаем, что в классе 30 учеников, в том числе 8 отличников, поэтому

\[P(A) = \dfrac{8}{30} = \dfrac{4}{15}\]

и вероятность решить задачу равна 0,9, поэтому

\[P(B) = 0,9\]

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\left(\dfrac{4}{15}\right) \cdot 0,9}{0,9} = \dfrac{4}{15}\]

Таким образом, вероятность того, что выбранный ученик является отличником, при условии, что он решил задачу, равна \(\dfrac{4}{15}\) или около 0,267.